Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7387 / 5351
↖ ↑ ↗
← N 76.250428°
W 98.843994°		 ← 290.34 m → N 76.250428°
W 98.833008°		 →
↑
290.39 m
↓
↑
290.39 m
↓
N 76.247817°
W 98.843994°		 ← 290.40 m →
84 320 m²		 N 76.247817°
W 98.833008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225448608398438 y=0.163314819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225448608398438 × 215)
    floor (0.225448608398438 × 32768)
    floor (7387.5)     		tx = 7387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163314819335938 × 215)
    floor (0.163314819335938 × 32768)
    floor (5351.5)     		ty = 5351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7387 / 5351 ti = "15/7387/5351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7387/5351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7387 ÷ 215
    7387 ÷ 32768     		x = 0.225433349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5351 ÷ 215
    5351 ÷ 32768     		y = 0.163299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225433349609375 × 2 - 1) × π
    -0.54913330078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.72515314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163299560546875 × 2 - 1) × π
    0.67340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11555125403232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72515314} λ = -1.72515314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11555125403232))-π/2
    2×atan(8.29415669345436)-π/2
    2×1.45080867618091-π/2
    2.90161735236182-1.57079632675     		φ = 1.33082103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72515314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.843994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33082103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.250428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7387 KachelY 5351 -1.72515314 1.33082103 -98.843994 76.250428
    Oben rechts KachelX + 1 7388 KachelY 5351 -1.72496140 1.33082103 -98.833008 76.250428
    Unten links KachelX 7387 KachelY + 1 5352 -1.72515314 1.33077545 -98.843994 76.247817
    Unten rechts KachelX + 1 7388 KachelY + 1 5352 -1.72496140 1.33077545 -98.833008 76.247817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33082103-1.33077545) × R
    4.55800000001005e-05 × 6371000     		dl = 290.390180000641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33082103-1.33077545) × R
    4.55800000001005e-05 × 6371000     		dr = 290.390180000641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72515314--1.72496140) × cos(1.33082103) × R
    0.000191739999999996 × 0.237678631193391 × 6371000     		do = 290.342402246521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72515314--1.72496140) × cos(1.33077545) × R
    0.000191739999999996 × 0.237722904799009 × 6371000     		du = 290.396485800212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33082103)-sin(1.33077545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237678631193391-0.237722904799009)×R²
    abs(-1.72496140--1.72515314)×4.42736056185389e-05×R²
    0.000191739999999996×4.42736056185389e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.42736056185389e-05×40589641000000     		ar = 84320.4351318218m²