Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7387 / 4408
↖ ↑ ↗
← N 63.626745°
W 17.687988°		 ← 1 085.32 m → N 63.626745°
W 17.666016°		 →
↑
1 085.55 m
↓
↑
1 085.55 m
↓
N 63.616982°
W 17.687988°		 ← 1 085.69 m →
1 178 374 m²		 N 63.616982°
W 17.666016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450897216796875 y=0.269073486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450897216796875 × 214)
    floor (0.450897216796875 × 16384)
    floor (7387.5)     		tx = 7387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269073486328125 × 214)
    floor (0.269073486328125 × 16384)
    floor (4408.5)     		ty = 4408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7387 / 4408 ti = "14/7387/4408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7387/4408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7387 ÷ 214
    7387 ÷ 16384     		x = 0.45086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4408 ÷ 214
    4408 ÷ 16384     		y = 0.26904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45086669921875 × 2 - 1) × π
    -0.0982666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30871363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26904296875 × 2 - 1) × π
    0.4619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45114582529834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30871363} λ = -0.30871363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45114582529834))-π/2
    2×atan(4.26800209925401)-π/2
    2×1.34064625657654-π/2
    2.68129251315309-1.57079632675     		φ = 1.11049619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30871363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.687988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11049619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.626745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7387 KachelY 4408 -0.30871363 1.11049619 -17.687988 63.626745
    Oben rechts KachelX + 1 7388 KachelY 4408 -0.30833014 1.11049619 -17.666016 63.626745
    Unten links KachelX 7387 KachelY + 1 4409 -0.30871363 1.11032580 -17.687988 63.616982
    Unten rechts KachelX + 1 7388 KachelY + 1 4409 -0.30833014 1.11032580 -17.666016 63.616982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11049619-1.11032580) × R
    0.000170390000000076 × 6371000     		dl = 1085.55469000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11049619-1.11032580) × R
    0.000170390000000076 × 6371000     		dr = 1085.55469000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30871363--0.30833014) × cos(1.11049619) × R
    0.000383490000000042 × 0.444217025290261 × 6371000     		do = 1085.31760615909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30871363--0.30833014) × cos(1.11032580) × R
    0.000383490000000042 × 0.444369674515634 × 6371000     		du = 1085.6905610042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11049619)-sin(1.11032580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444217025290261-0.444369674515634)×R²
    abs(-0.30833014--0.30871363)×0.00015264922537378×R²
    0.000383490000000042×0.00015264922537378×6371000²
    0.000383490000000042×0.00015264922537378×40589641000000     		ar = 1178374.05179725m²