Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73868 / 61336
↖ ↑ ↗
← N 11.458491°
E 22.884522°		 ← 299.28 m → N 11.458491°
E 22.887268°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
N 11.455799°
E 22.884522°		 ← 299.28 m →
89 577 m²		 N 11.455799°
E 22.887268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563571929931641 y=0.467960357666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563571929931641 × 217)
    floor (0.563571929931641 × 131072)
    floor (73868.5)     		tx = 73868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467960357666016 × 217)
    floor (0.467960357666016 × 131072)
    floor (61336.5)     		ty = 61336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73868 / 61336 ti = "17/73868/61336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73868/61336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73868 ÷ 217
    73868 ÷ 131072     		x = 0.563568115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61336 ÷ 217
    61336 ÷ 131072     		y = 0.46795654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563568115234375 × 2 - 1) × π
    0.12713623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39941025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46795654296875 × 2 - 1) × π
    0.0640869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.201334978404236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39941025} λ = 0.39941025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.201334978404236))-π/2
    2×atan(1.22303439332172)-π/2
    2×0.885392358866195-π/2
    1.77078471773239-1.57079632675     		φ = 0.19998839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39941025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.884522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19998839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.458491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73868 KachelY 61336 0.39941025 0.19998839 22.884522 11.458491
    Oben rechts KachelX + 1 73869 KachelY 61336 0.39945818 0.19998839 22.887268 11.458491
    Unten links KachelX 73868 KachelY + 1 61337 0.39941025 0.19994141 22.884522 11.455799
    Unten rechts KachelX + 1 73869 KachelY + 1 61337 0.39945818 0.19994141 22.887268 11.455799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19998839-0.19994141) × R
    4.69799999999743e-05 × 6371000     		dl = 299.309579999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19998839-0.19994141) × R
    4.69799999999743e-05 × 6371000     		dr = 299.309579999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39941025-0.39945818) × cos(0.19998839) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.980068884326119 × 6371000     		do = 299.275824057496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39941025-0.39945818) × cos(0.19994141) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.980078216195146 × 6371000     		du = 299.278673655965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19998839)-sin(0.19994141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980068884326119-0.980078216195146)×R²
    abs(0.39945818-0.39941025)×9.33186902629668e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.33186902629668e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.33186902629668e-06×40589641000000     		ar = 89576.547675296m²