Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73868 / 60799
↖ ↑ ↗
← N 12.900167°
E 22.884522°		 ← 297.65 m → N 12.900167°
E 22.887268°		 →
↑
297.72 m
↓
↑
297.72 m
↓
N 12.897489°
E 22.884522°		 ← 297.66 m →
88 617 m²		 N 12.897489°
E 22.887268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563571929931641 y=0.463863372802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563571929931641 × 217)
    floor (0.563571929931641 × 131072)
    floor (73868.5)     		tx = 73868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463863372802734 × 217)
    floor (0.463863372802734 × 131072)
    floor (60799.5)     		ty = 60799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73868 / 60799 ti = "17/73868/60799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73868/60799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73868 ÷ 217
    73868 ÷ 131072     		x = 0.563568115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60799 ÷ 217
    60799 ÷ 131072     		y = 0.463859558105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563568115234375 × 2 - 1) × π
    0.12713623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39941025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463859558105469 × 2 - 1) × π
    0.0722808837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.227077093500206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39941025} λ = 0.39941025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227077093500206))-π/2
    2×atan(1.25492661089604)-π/2
    2×0.897973352766958-π/2
    1.79594670553392-1.57079632675     		φ = 0.22515038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39941025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.884522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22515038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.900167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73868 KachelY 60799 0.39941025 0.22515038 22.884522 12.900167
    Oben rechts KachelX + 1 73869 KachelY 60799 0.39945818 0.22515038 22.887268 12.900167
    Unten links KachelX 73868 KachelY + 1 60800 0.39941025 0.22510365 22.884522 12.897489
    Unten rechts KachelX + 1 73869 KachelY + 1 60800 0.39945818 0.22510365 22.887268 12.897489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22515038-0.22510365) × R
    4.67300000000226e-05 × 6371000     		dl = 297.716830000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22515038-0.22510365) × R
    4.67300000000226e-05 × 6371000     		dr = 297.716830000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39941025-0.39945818) × cos(0.22515038) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.974760545312265 × 6371000     		do = 297.654858880298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39941025-0.39945818) × cos(0.22510365) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.974770976858286 × 6371000     		du = 297.658044278367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22515038)-sin(0.22510365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974760545312265-0.974770976858286)×R²
    abs(0.39945818-0.39941025)×1.04315460209836e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.04315460209836e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.04315460209836e-05×40589641000000     		ar = 88617.3352094143m²