Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73867 / 56621
↖ ↑ ↗
← N 23.772778°
E 22.881775°		 ← 279.51 m → N 23.772778°
E 22.884522°		 →
↑
279.50 m
↓
↑
279.50 m
↓
N 23.770264°
E 22.881775°		 ← 279.52 m →
78 123 m²		 N 23.770264°
E 22.884522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563564300537109 y=0.431987762451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563564300537109 × 217)
    floor (0.563564300537109 × 131072)
    floor (73867.5)     		tx = 73867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431987762451172 × 217)
    floor (0.431987762451172 × 131072)
    floor (56621.5)     		ty = 56621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73867 / 56621 ti = "17/73867/56621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73867/56621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73867 ÷ 217
    73867 ÷ 131072     		x = 0.563560485839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56621 ÷ 217
    56621 ÷ 131072     		y = 0.431983947753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563560485839844 × 2 - 1) × π
    0.127120971679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.39936231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431983947753906 × 2 - 1) × π
    0.136032104492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.427357460112801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39936231} λ = 0.39936231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.427357460112801))-π/2
    2×atan(1.53320062184847)-π/2
    2×0.992854785194196-π/2
    1.98570957038839-1.57079632675     		φ = 0.41491324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39936231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.881775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41491324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.772778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73867 KachelY 56621 0.39936231 0.41491324 22.881775 23.772778
    Oben rechts KachelX + 1 73868 KachelY 56621 0.39941025 0.41491324 22.884522 23.772778
    Unten links KachelX 73867 KachelY + 1 56622 0.39936231 0.41486937 22.881775 23.770264
    Unten rechts KachelX + 1 73868 KachelY + 1 56622 0.39941025 0.41486937 22.884522 23.770264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41491324-0.41486937) × R
    4.38700000000014e-05 × 6371000     		dl = 279.495770000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41491324-0.41486937) × R
    4.38700000000014e-05 × 6371000     		dr = 279.495770000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39936231-0.39941025) × cos(0.41491324) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915151297808772 × 6371000     		do = 279.510762345345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39936231-0.39941025) × cos(0.41486937) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915168981387226 × 6371000     		du = 279.51616336538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41491324)-sin(0.41486937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915151297808772-0.915168981387226)×R²
    abs(0.39941025-0.39936231)×1.76835784539975e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76835784539975e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76835784539975e-05×40589641000000     		ar = 78122.830538635m²