Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73865 / 61399
↖ ↑ ↗
← N 11.288855°
E 22.876282°		 ← 299.45 m → N 11.288855°
E 22.879028°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
N 11.286161°
E 22.876282°		 ← 299.46 m →
89 687 m²		 N 11.286161°
E 22.879028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563549041748047 y=0.468441009521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563549041748047 × 217)
    floor (0.563549041748047 × 131072)
    floor (73865.5)     		tx = 73865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468441009521484 × 217)
    floor (0.468441009521484 × 131072)
    floor (61399.5)     		ty = 61399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73865 / 61399 ti = "17/73865/61399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73865/61399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73865 ÷ 217
    73865 ÷ 131072     		x = 0.563545227050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61399 ÷ 217
    61399 ÷ 131072     		y = 0.468437194824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563545227050781 × 2 - 1) × π
    0.127090454101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.39926644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468437194824219 × 2 - 1) × π
    0.0631256103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.198314953728172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39926644} λ = 0.39926644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.198314953728172))-π/2
    2×atan(1.21934637103643)-π/2
    2×0.883912000893417-π/2
    1.76782400178683-1.57079632675     		φ = 0.19702768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39926644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.876282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19702768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.288855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73865 KachelY 61399 0.39926644 0.19702768 22.876282 11.288855
    Oben rechts KachelX + 1 73866 KachelY 61399 0.39931437 0.19702768 22.879028 11.288855
    Unten links KachelX 73865 KachelY + 1 61400 0.39926644 0.19698067 22.876282 11.286161
    Unten rechts KachelX + 1 73866 KachelY + 1 61400 0.39931437 0.19698067 22.879028 11.286161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19702768-0.19698067) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dl = 299.500710000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19702768-0.19698067) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dr = 299.500710000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39926644-0.39931437) × cos(0.19702768) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.980652756509918 × 6371000     		do = 299.454116452801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39926644-0.39931437) × cos(0.19698067) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.980661957887019 × 6371000     		du = 299.456926203991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19702768)-sin(0.19698067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980652756509918-0.980661957887019)×R²
    abs(0.39931437-0.39926644)×9.20137710069824e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.20137710069824e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.20137710069824e-06×40589641000000     		ar = 89687.1412678213m²