Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73863 / 60796
↖ ↑ ↗
← N 12.908198°
E 22.870788°		 ← 297.71 m → N 12.908198°
E 22.873535°		 →
↑
297.72 m
↓
↑
297.72 m
↓
N 12.905521°
E 22.870788°		 ← 297.71 m →
88 633 m²		 N 12.905521°
E 22.873535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563533782958984 y=0.463840484619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563533782958984 × 217)
    floor (0.563533782958984 × 131072)
    floor (73863.5)     		tx = 73863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463840484619141 × 217)
    floor (0.463840484619141 × 131072)
    floor (60796.5)     		ty = 60796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73863 / 60796 ti = "17/73863/60796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73863/60796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73863 ÷ 217
    73863 ÷ 131072     		x = 0.563529968261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60796 ÷ 217
    60796 ÷ 131072     		y = 0.463836669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563529968261719 × 2 - 1) × π
    0.127059936523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.39917056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463836669921875 × 2 - 1) × π
    0.07232666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.227220904199066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39917056} λ = 0.39917056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227220904199066))-π/2
    2×atan(1.25510709574649)-π/2
    2×0.898043442139214-π/2
    1.79608688427843-1.57079632675     		φ = 0.22529056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39917056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.870788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22529056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.908198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73863 KachelY 60796 0.39917056 0.22529056 22.870788 12.908198
    Oben rechts KachelX + 1 73864 KachelY 60796 0.39921850 0.22529056 22.873535 12.908198
    Unten links KachelX 73863 KachelY + 1 60797 0.39917056 0.22524383 22.870788 12.905521
    Unten rechts KachelX + 1 73864 KachelY + 1 60797 0.39921850 0.22524383 22.873535 12.905521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22529056-0.22524383) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dl = 297.716829999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22529056-0.22524383) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dr = 297.716829999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39917056-0.39921850) × cos(0.22529056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974729240136723 × 6371000     		do = 297.707399468201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39917056-0.39921850) × cos(0.22524383) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974739678067953 × 6371000     		du = 297.710587481071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22529056)-sin(0.22524383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974729240136723-0.974739678067953)×R²
    abs(0.39921850-0.39917056)×1.04379312301228e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04379312301228e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04379312301228e-05×40589641000000     		ar = 88632.9778158463m²