Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73862 / 60800
↖ ↑ ↗
← N 12.897489°
E 22.868042°		 ← 297.66 m → N 12.897489°
E 22.870788°		 →
↑
297.72 m
↓
↑
297.72 m
↓
N 12.894812°
E 22.868042°		 ← 297.66 m →
88 618 m²		 N 12.894812°
E 22.870788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563526153564453 y=0.463871002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563526153564453 × 217)
    floor (0.563526153564453 × 131072)
    floor (73862.5)     		tx = 73862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463871002197266 × 217)
    floor (0.463871002197266 × 131072)
    floor (60800.5)     		ty = 60800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73862 / 60800 ti = "17/73862/60800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73862/60800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73862 ÷ 217
    73862 ÷ 131072     		x = 0.563522338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60800 ÷ 217
    60800 ÷ 131072     		y = 0.4638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563522338867188 × 2 - 1) × π
    0.127044677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39912263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    0.072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.227029156600586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39912263} λ = 0.39912263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227029156600586))-π/2
    2×atan(1.25486645504692)-π/2
    2×0.897949989142734-π/2
    1.79589997828547-1.57079632675     		φ = 0.22510365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39912263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.868042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22510365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.897489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73862 KachelY 60800 0.39912263 0.22510365 22.868042 12.897489
    Oben rechts KachelX + 1 73863 KachelY 60800 0.39917056 0.22510365 22.870788 12.897489
    Unten links KachelX 73862 KachelY + 1 60801 0.39912263 0.22505692 22.868042 12.894812
    Unten rechts KachelX + 1 73863 KachelY + 1 60801 0.39917056 0.22505692 22.870788 12.894812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22510365-0.22505692) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dl = 297.716829999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22510365-0.22505692) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dr = 297.716829999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39912263-0.39917056) × cos(0.22510365) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.974770976858286 × 6371000     		do = 297.658044278711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39912263-0.39917056) × cos(0.22505692) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.974781406275707 × 6371000     		du = 297.661229026787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22510365)-sin(0.22505692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974770976858286-0.974781406275707)×R²
    abs(0.39917056-0.39912263)×1.04294174204655e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04294174204655e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04294174204655e-05×40589641000000     		ar = 88618.2834593251m²