Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73861 / 60787
↖ ↑ ↗
← N 12.932292°
E 22.865295°		 ← 297.68 m → N 12.932292°
E 22.868042°		 →
↑
297.65 m
↓
↑
297.65 m
↓
N 12.929615°
E 22.865295°		 ← 297.68 m →
88 605 m²		 N 12.929615°
E 22.868042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563518524169922 y=0.463771820068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563518524169922 × 217)
    floor (0.563518524169922 × 131072)
    floor (73861.5)     		tx = 73861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463771820068359 × 217)
    floor (0.463771820068359 × 131072)
    floor (60787.5)     		ty = 60787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73861 / 60787 ti = "17/73861/60787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73861/60787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73861 ÷ 217
    73861 ÷ 131072     		x = 0.563514709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60787 ÷ 217
    60787 ÷ 131072     		y = 0.463768005371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563514709472656 × 2 - 1) × π
    0.127029418945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.39907469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463768005371094 × 2 - 1) × π
    0.0724639892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.227652336295647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39907469} λ = 0.39907469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227652336295647))-π/2
    2×atan(1.25564870605787)-π/2
    2×0.898253696740911-π/2
    1.79650739348182-1.57079632675     		φ = 0.22571107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39907469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.865295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22571107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.932292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73861 KachelY 60787 0.39907469 0.22571107 22.865295 12.932292
    Oben rechts KachelX + 1 73862 KachelY 60787 0.39912263 0.22571107 22.868042 12.932292
    Unten links KachelX 73861 KachelY + 1 60788 0.39907469 0.22566435 22.865295 12.929615
    Unten rechts KachelX + 1 73862 KachelY + 1 60788 0.39912263 0.22566435 22.868042 12.929615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22571107-0.22566435) × R
    4.67200000000001e-05 × 6371000     		dl = 297.653120000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22571107-0.22566435) × R
    4.67200000000001e-05 × 6371000     		dr = 297.653120000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39907469-0.39912263) × cos(0.22571107) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974635216403438 × 6371000     		do = 297.678682199885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39907469-0.39912263) × cos(0.22566435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974645671250159 × 6371000     		du = 297.681875379181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22571107)-sin(0.22566435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974635216403438-0.974645671250159)×R²
    abs(0.39912263-0.39907469)×1.04548467210197e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04548467210197e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04548467210197e-05×40589641000000     		ar = 88605.4637603058m²