Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73860 / 60789
↖ ↑ ↗
← N 12.926937°
E 22.862549°		 ← 297.69 m → N 12.926937°
E 22.865295°		 →
↑
297.65 m
↓
↑
297.65 m
↓
N 12.924261°
E 22.862549°		 ← 297.69 m →
88 607 m²		 N 12.924261°
E 22.865295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563510894775391 y=0.463787078857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563510894775391 × 217)
    floor (0.563510894775391 × 131072)
    floor (73860.5)     		tx = 73860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463787078857422 × 217)
    floor (0.463787078857422 × 131072)
    floor (60789.5)     		ty = 60789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73860 / 60789 ti = "17/73860/60789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73860/60789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73860 ÷ 217
    73860 ÷ 131072     		x = 0.563507080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60789 ÷ 217
    60789 ÷ 131072     		y = 0.463783264160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563507080078125 × 2 - 1) × π
    0.12701416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39902675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463783264160156 × 2 - 1) × π
    0.0724334716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.227556462496407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39902675} λ = 0.39902675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227556462496407))-π/2
    2×atan(1.25552832801655)-π/2
    2×0.89820697524917-π/2
    1.79641395049834-1.57079632675     		φ = 0.22561762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39902675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.862549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22561762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.926937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73860 KachelY 60789 0.39902675 0.22561762 22.862549 12.926937
    Oben rechts KachelX + 1 73861 KachelY 60789 0.39907469 0.22561762 22.865295 12.926937
    Unten links KachelX 73860 KachelY + 1 60790 0.39902675 0.22557090 22.862549 12.924261
    Unten rechts KachelX + 1 73861 KachelY + 1 60790 0.39907469 0.22557090 22.865295 12.924261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22561762-0.22557090) × R
    4.67200000000001e-05 × 6371000     		dl = 297.653120000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22561762-0.22557090) × R
    4.67200000000001e-05 × 6371000     		dr = 297.653120000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39902675-0.39907469) × cos(0.22561762) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974656126206548 × 6371000     		do = 297.685068592318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39902675-0.39907469) × cos(0.22557090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974666576797959 × 6371000     		du = 297.688260471933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22561762)-sin(0.22557090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974656126206548-0.974666576797959)×R²
    abs(0.39907469-0.39902675)×1.04505914108044e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.04505914108044e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.04505914108044e-05×40589641000000     		ar = 88607.3644964785m²