Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7386 / 5666
↖ ↑ ↗
← N 48.429200°
W 17.709961°		 ← 1 621.23 m → N 48.429200°
W 17.687988°		 →
↑
1 621.42 m
↓
↑
1 621.42 m
↓
N 48.414619°
W 17.709961°		 ← 1 621.69 m →
2 629 063 m²		 N 48.414619°
W 17.687988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450836181640625 y=0.345855712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450836181640625 × 214)
    floor (0.450836181640625 × 16384)
    floor (7386.5)     		tx = 7386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345855712890625 × 214)
    floor (0.345855712890625 × 16384)
    floor (5666.5)     		ty = 5666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7386 / 5666 ti = "14/7386/5666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7386/5666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7386 ÷ 214
    7386 ÷ 16384     		x = 0.4508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5666 ÷ 214
    5666 ÷ 16384     		y = 0.3458251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4508056640625 × 2 - 1) × π
    -0.098388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30909713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3458251953125 × 2 - 1) × π
    0.308349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.968708867522095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30909713} λ = -0.30909713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968708867522095))-π/2
    2×atan(2.63454072139892)-π/2
    2×1.20802266528993-π/2
    2.41604533057986-1.57079632675     		φ = 0.84524900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30909713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.709961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84524900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.429200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7386 KachelY 5666 -0.30909713 0.84524900 -17.709961 48.429200
    Oben rechts KachelX + 1 7387 KachelY 5666 -0.30871363 0.84524900 -17.687988 48.429200
    Unten links KachelX 7386 KachelY + 1 5667 -0.30909713 0.84499450 -17.709961 48.414619
    Unten rechts KachelX + 1 7387 KachelY + 1 5667 -0.30871363 0.84499450 -17.687988 48.414619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84524900-0.84499450) × R
    0.000254500000000046 × 6371000     		dl = 1621.4195000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84524900-0.84499450) × R
    0.000254500000000046 × 6371000     		dr = 1621.4195000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30909713--0.30871363) × cos(0.84524900) × R
    0.000383499999999981 × 0.663545017105883 × 6371000     		do = 1621.22527407686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30909713--0.30871363) × cos(0.84499450) × R
    0.000383499999999981 × 0.66373539631797 × 6371000     		du = 1621.69042351259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84524900)-sin(0.84499450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663545017105883-0.66373539631797)×R²
    abs(-0.30871363--0.30909713)×0.000190379212086644×R²
    0.000383499999999981×0.000190379212086644×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190379212086644×40589641000000     		ar = 2629063.38865421m²