Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73859 / 61316
↖ ↑ ↗
← N 11.512322°
E 22.859803°		 ← 299.22 m → N 11.512322°
E 22.862549°		 →
↑
299.25 m
↓
↑
299.25 m
↓
N 11.509631°
E 22.859803°		 ← 299.22 m →
89 540 m²		 N 11.509631°
E 22.862549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563503265380859 y=0.467807769775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563503265380859 × 217)
    floor (0.563503265380859 × 131072)
    floor (73859.5)     		tx = 73859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467807769775391 × 217)
    floor (0.467807769775391 × 131072)
    floor (61316.5)     		ty = 61316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73859 / 61316 ti = "17/73859/61316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73859/61316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73859 ÷ 217
    73859 ÷ 131072     		x = 0.563499450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61316 ÷ 217
    61316 ÷ 131072     		y = 0.467803955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563499450683594 × 2 - 1) × π
    0.126998901367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.39897882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467803955078125 × 2 - 1) × π
    0.06439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.202293716396637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39897882} λ = 0.39897882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202293716396637))-π/2
    2×atan(1.22420752513377)-π/2
    2×0.88586212869645-π/2
    1.7717242573929-1.57079632675     		φ = 0.20092793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39897882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.859803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20092793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.512322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73859 KachelY 61316 0.39897882 0.20092793 22.859803 11.512322
    Oben rechts KachelX + 1 73860 KachelY 61316 0.39902675 0.20092793 22.862549 11.512322
    Unten links KachelX 73859 KachelY + 1 61317 0.39897882 0.20088096 22.859803 11.509631
    Unten rechts KachelX + 1 73860 KachelY + 1 61317 0.39902675 0.20088096 22.862549 11.509631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20092793-0.20088096) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dl = 299.245870000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20092793-0.20088096) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dr = 299.245870000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39897882-0.39902675) × cos(0.20092793) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.979881804690438 × 6371000     		do = 299.218697040172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39897882-0.39902675) × cos(0.20088096) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.979891177820057 × 6371000     		du = 299.22155923806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20092793)-sin(0.20088096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979881804690438-0.979891177820057)×R²
    abs(0.39902675-0.39897882)×9.37312961857284e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.37312961857284e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.37312961857284e-06×40589641000000     		ar = 89540.3875829719m²