Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73858 / 61392
↖ ↑ ↗
← N 11.307708°
E 22.857056°		 ← 299.50 m → N 11.307708°
E 22.859803°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
N 11.305014°
E 22.857056°		 ← 299.50 m →
89 700 m²		 N 11.305014°
E 22.859803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563495635986328 y=0.468387603759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563495635986328 × 217)
    floor (0.563495635986328 × 131072)
    floor (73858.5)     		tx = 73858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468387603759766 × 217)
    floor (0.468387603759766 × 131072)
    floor (61392.5)     		ty = 61392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73858 / 61392 ti = "17/73858/61392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73858/61392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73858 ÷ 217
    73858 ÷ 131072     		x = 0.563491821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61392 ÷ 217
    61392 ÷ 131072     		y = 0.4683837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563491821289062 × 2 - 1) × π
    0.126983642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39893088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4683837890625 × 2 - 1) × π
    0.063232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.198650512025513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39893088} λ = 0.39893088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.198650512025513))-π/2
    2×atan(1.21975560148506)-π/2
    2×0.884076528571488-π/2
    1.76815305714298-1.57079632675     		φ = 0.19735673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39893088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.857056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19735673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.307708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73858 KachelY 61392 0.39893088 0.19735673 22.857056 11.307708
    Oben rechts KachelX + 1 73859 KachelY 61392 0.39897882 0.19735673 22.859803 11.307708
    Unten links KachelX 73858 KachelY + 1 61393 0.39893088 0.19730972 22.857056 11.305014
    Unten rechts KachelX + 1 73859 KachelY + 1 61393 0.39897882 0.19730972 22.859803 11.305014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19735673-0.19730972) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dl = 299.500710000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19735673-0.19730972) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dr = 299.500710000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39893088-0.39897882) × cos(0.19735673) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980588290111766 × 6371000     		do = 299.496904142871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39893088-0.39897882) × cos(0.19730972) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980597506657804 × 6371000     		du = 299.499719113265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19735673)-sin(0.19730972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980588290111766-0.980597506657804)×R²
    abs(0.39897882-0.39893088)×9.21654603835975e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.21654603835975e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.21654603835975e-06×40589641000000     		ar = 89699.9569929526m²