Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73857 / 61318
↖ ↑ ↗
← N 11.506939°
E 22.854309°		 ← 299.29 m → N 11.506939°
E 22.857056°		 →
↑
299.25 m
↓
↑
299.25 m
↓
N 11.504248°
E 22.854309°		 ← 299.29 m →
89 561 m²		 N 11.504248°
E 22.857056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563488006591797 y=0.467823028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563488006591797 × 217)
    floor (0.563488006591797 × 131072)
    floor (73857.5)     		tx = 73857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467823028564453 × 217)
    floor (0.467823028564453 × 131072)
    floor (61318.5)     		ty = 61318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73857 / 61318 ti = "17/73857/61318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73857/61318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73857 ÷ 217
    73857 ÷ 131072     		x = 0.563484191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61318 ÷ 217
    61318 ÷ 131072     		y = 0.467819213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563484191894531 × 2 - 1) × π
    0.126968383789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.39888294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467819213867188 × 2 - 1) × π
    0.064361572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.202197842597397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39888294} λ = 0.39888294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202197842597397))-π/2
    2×atan(1.22409016133342)-π/2
    2×0.885815155751417-π/2
    1.77163031150283-1.57079632675     		φ = 0.20083398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39888294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.854309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20083398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.506939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73857 KachelY 61318 0.39888294 0.20083398 22.854309 11.506939
    Oben rechts KachelX + 1 73858 KachelY 61318 0.39893088 0.20083398 22.857056 11.506939
    Unten links KachelX 73857 KachelY + 1 61319 0.39888294 0.20078701 22.854309 11.504248
    Unten rechts KachelX + 1 73858 KachelY + 1 61319 0.39893088 0.20078701 22.857056 11.504248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20083398-0.20078701) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dl = 299.245870000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20083398-0.20078701) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dr = 299.245870000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39888294-0.39893088) × cos(0.20083398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979900550782724 × 6371000     		do = 299.286850849025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39888294-0.39893088) × cos(0.20078701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979909919588228 × 6371000     		du = 299.289712323379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20083398)-sin(0.20078701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979900550782724-0.979909919588228)×R²
    abs(0.39893088-0.39888294)×9.36880550328478e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.36880550328478e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.36880550328478e-06×40589641000000     		ar = 89560.7822205168m²