Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73856 / 90752
↖ ↑ ↗
← S 56.752723°
E 22.851562°		 ← 167.45 m → S 56.752723°
E 22.854309°		 →
↑
167.43 m
↓
↑
167.43 m
↓
S 56.754228°
E 22.851562°		 ← 167.44 m →
28 036 m²		 S 56.754228°
E 22.854309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563480377197266 y=0.692386627197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563480377197266 × 217)
    floor (0.563480377197266 × 131072)
    floor (73856.5)     		tx = 73856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692386627197266 × 217)
    floor (0.692386627197266 × 131072)
    floor (90752.5)     		ty = 90752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73856 / 90752 ti = "17/73856/90752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73856/90752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73856 ÷ 217
    73856 ÷ 131072     		x = 0.5634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90752 ÷ 217
    90752 ÷ 131072     		y = 0.6923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5634765625 × 2 - 1) × π
    0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6923828125 × 2 - 1) × π
    -0.384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20877686081934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39883500} λ = 0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20877686081934))-π/2
    2×atan(0.298562239358819)-π/2
    2×0.290137226612273-π/2
    0.580274453224545-1.57079632675     		φ = -0.99052187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99052187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.752723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73856 KachelY 90752 0.39883500 -0.99052187 22.851562 -56.752723
    Oben rechts KachelX + 1 73857 KachelY 90752 0.39888294 -0.99052187 22.854309 -56.752723
    Unten links KachelX 73856 KachelY + 1 90753 0.39883500 -0.99054815 22.851562 -56.754228
    Unten rechts KachelX + 1 73857 KachelY + 1 90753 0.39888294 -0.99054815 22.854309 -56.754228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99052187--0.99054815) × R
    2.62799999999341e-05 × 6371000     		dl = 167.42987999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99052187--0.99054815) × R
    2.62799999999341e-05 × 6371000     		dr = 167.42987999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39883500-0.39888294) × cos(-0.99052187) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.548253489006567 × 6371000     		do = 167.450727587497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39883500-0.39888294) × cos(-0.99054815) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.548231510532381 × 6371000     		du = 167.444014795754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99052187)-sin(-0.99054815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548253489006567-0.548231510532381)×R²
    abs(0.39888294-0.39883500)×2.19784741860574e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19784741860574e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19784741860574e-05×40589641000000     		ar = 28035.6932664934m²