Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73856 / 61394
↖ ↑ ↗
← N 11.302321°
E 22.851562°		 ← 299.50 m → N 11.302321°
E 22.854309°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
N 11.299628°
E 22.851562°		 ← 299.51 m →
89 702 m²		 N 11.299628°
E 22.854309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563480377197266 y=0.468402862548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563480377197266 × 217)
    floor (0.563480377197266 × 131072)
    floor (73856.5)     		tx = 73856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468402862548828 × 217)
    floor (0.468402862548828 × 131072)
    floor (61394.5)     		ty = 61394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73856 / 61394 ti = "17/73856/61394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73856/61394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73856 ÷ 217
    73856 ÷ 131072     		x = 0.5634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61394 ÷ 217
    61394 ÷ 131072     		y = 0.468399047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5634765625 × 2 - 1) × π
    0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468399047851562 × 2 - 1) × π
    0.063201904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.198554638226273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39883500} λ = 0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.198554638226273))-π/2
    2×atan(1.21963866448709)-π/2
    2×0.884029521767296-π/2
    1.76805904353459-1.57079632675     		φ = 0.19726272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19726272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.302321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73856 KachelY 61394 0.39883500 0.19726272 22.851562 11.302321
    Oben rechts KachelX + 1 73857 KachelY 61394 0.39888294 0.19726272 22.854309 11.302321
    Unten links KachelX 73856 KachelY + 1 61395 0.39883500 0.19721571 22.851562 11.299628
    Unten rechts KachelX + 1 73857 KachelY + 1 61395 0.39888294 0.19721571 22.854309 11.299628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19726272-0.19721571) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dl = 299.500710000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19726272-0.19721571) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dr = 299.500710000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39883500-0.39888294) × cos(0.19726272) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980606719076922 × 6371000     		do = 299.502532823192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39883500-0.39888294) × cos(0.19721571) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980615931289278 × 6371000     		du = 299.505346469967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19726272)-sin(0.19721571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980606719076922-0.980615931289278)×R²
    abs(0.39888294-0.39883500)×9.21221235561376e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.21221235561376e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.21221235561376e-06×40589641000000     		ar = 89701.6425885123m²