Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73855 / 76159
↖ ↑ ↗
← S 27.991976°
E 22.848816°		 ← 269.64 m → S 27.991976°
E 22.851562°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
S 27.994402°
E 22.848816°		 ← 269.63 m →
72 717 m²		 S 27.994402°
E 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563472747802734 y=0.581050872802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563472747802734 × 217)
    floor (0.563472747802734 × 131072)
    floor (73855.5)     		tx = 73855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581050872802734 × 217)
    floor (0.581050872802734 × 131072)
    floor (76159.5)     		ty = 76159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73855 / 76159 ti = "17/73855/76159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73855/76159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73855 ÷ 217
    73855 ÷ 131072     		x = 0.563468933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76159 ÷ 217
    76159 ÷ 131072     		y = 0.581047058105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563468933105469 × 2 - 1) × π
    0.126937866210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.39878707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581047058105469 × 2 - 1) × π
    -0.162094116210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.509233684663857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39878707} λ = 0.39878707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509233684663857))-π/2
    2×atan(0.600955924145913)-π/2
    2×0.541122089252612-π/2
    1.08224417850522-1.57079632675     		φ = -0.48855215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39878707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.848816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48855215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.991976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73855 KachelY 76159 0.39878707 -0.48855215 22.848816 -27.991976
    Oben rechts KachelX + 1 73856 KachelY 76159 0.39883500 -0.48855215 22.851562 -27.991976
    Unten links KachelX 73855 KachelY + 1 76160 0.39878707 -0.48859448 22.848816 -27.994402
    Unten rechts KachelX + 1 73856 KachelY + 1 76160 0.39883500 -0.48859448 22.851562 -27.994402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48855215--0.48859448) × R
    4.23299999999793e-05 × 6371000     		dl = 269.684429999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48855215--0.48859448) × R
    4.23299999999793e-05 × 6371000     		dr = 269.684429999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39878707-0.39883500) × cos(-0.48855215) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.883013329260623 × 6371000     		do = 269.638742739935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39878707-0.39883500) × cos(-0.48859448) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.882993460972506 × 6371000     		du = 269.632675719143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48855215)-sin(-0.48859448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883013329260623-0.882993460972506)×R²
    abs(0.39883500-0.39878707)×1.98682881163981e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.98682881163981e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.98682881163981e-05×40589641000000     		ar = 72716.5525620428m²