Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73852 / 61387
↖ ↑ ↗
← N 11.321174°
E 22.840576°		 ← 299.42 m → N 11.321174°
E 22.843323°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
N 11.318480°
E 22.840576°		 ← 299.42 m →
89 677 m²		 N 11.318480°
E 22.843323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563449859619141 y=0.468349456787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563449859619141 × 217)
    floor (0.563449859619141 × 131072)
    floor (73852.5)     		tx = 73852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468349456787109 × 217)
    floor (0.468349456787109 × 131072)
    floor (61387.5)     		ty = 61387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73852 / 61387 ti = "17/73852/61387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73852/61387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73852 ÷ 217
    73852 ÷ 131072     		x = 0.563446044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61387 ÷ 217
    61387 ÷ 131072     		y = 0.468345642089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563446044921875 × 2 - 1) × π
    0.12689208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39864326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468345642089844 × 2 - 1) × π
    0.0633087158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.198890196523613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39864326} λ = 0.39864326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.198890196523613))-π/2
    2×atan(1.22004799303367)-π/2
    2×0.884194041715081-π/2
    1.76838808343016-1.57079632675     		φ = 0.19759176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39864326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.840576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19759176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.321174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73852 KachelY 61387 0.39864326 0.19759176 22.840576 11.321174
    Oben rechts KachelX + 1 73853 KachelY 61387 0.39869119 0.19759176 22.843323 11.321174
    Unten links KachelX 73852 KachelY + 1 61388 0.39864326 0.19754475 22.840576 11.318480
    Unten rechts KachelX + 1 73853 KachelY + 1 61388 0.39869119 0.19754475 22.843323 11.318480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19759176-0.19754475) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dl = 299.500710000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19759176-0.19754475) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dr = 299.500710000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39864326-0.39869119) × cos(0.19759176) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.980542178802531 × 6371000     		do = 299.4203502196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39864326-0.39869119) × cos(0.19754475) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.980551406182651 × 6371000     		du = 299.423167911125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19759176)-sin(0.19754475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980542178802531-0.980551406182651)×R²
    abs(0.39869119-0.39864326)×9.22738011965851e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.22738011965851e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.22738011965851e-06×40589641000000     		ar = 89677.0294460378m²