Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73851 / 60812
↖ ↑ ↗
← N 12.865360°
E 22.837830°		 ← 297.76 m → N 12.865360°
E 22.840576°		 →
↑
297.78 m
↓
↑
297.78 m
↓
N 12.862682°
E 22.837830°		 ← 297.76 m →
88 667 m²		 N 12.862682°
E 22.840576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563442230224609 y=0.463962554931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563442230224609 × 217)
    floor (0.563442230224609 × 131072)
    floor (73851.5)     		tx = 73851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463962554931641 × 217)
    floor (0.463962554931641 × 131072)
    floor (60812.5)     		ty = 60812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73851 / 60812 ti = "17/73851/60812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73851/60812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73851 ÷ 217
    73851 ÷ 131072     		x = 0.563438415527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60812 ÷ 217
    60812 ÷ 131072     		y = 0.463958740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563438415527344 × 2 - 1) × π
    0.126876831054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.39859532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463958740234375 × 2 - 1) × π
    0.07208251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.226453913805145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39859532} λ = 0.39859532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.226453913805145))-π/2
    2×atan(1.25414480973994)-π/2
    2×0.897669606166717-π/2
    1.79533921233343-1.57079632675     		φ = 0.22454289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39859532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.837830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22454289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.865360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73851 KachelY 60812 0.39859532 0.22454289 22.837830 12.865360
    Oben rechts KachelX + 1 73852 KachelY 60812 0.39864326 0.22454289 22.840576 12.865360
    Unten links KachelX 73851 KachelY + 1 60813 0.39859532 0.22449615 22.837830 12.862682
    Unten rechts KachelX + 1 73852 KachelY + 1 60813 0.39864326 0.22449615 22.840576 12.862682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22454289-0.22449615) × R
    4.67399999999896e-05 × 6371000     		dl = 297.780539999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22454289-0.22449615) × R
    4.67399999999896e-05 × 6371000     		dr = 297.780539999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39859532-0.39864326) × cos(0.22454289) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974895989373191 × 6371000     		do = 297.758328977489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39859532-0.39864326) × cos(0.22449615) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974906395471783 × 6371000     		du = 297.761507267852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22454289)-sin(0.22449615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974895989373191-0.974906395471783)×R²
    abs(0.39864326-0.39859532)×1.04060985918197e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.04060985918197e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.04060985918197e-05×40589641000000     		ar = 88667.1092250087m²