Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73849 / 61326
↖ ↑ ↗
← N 11.485408°
E 22.832337°		 ← 299.25 m → N 11.485408°
E 22.835083°		 →
↑
299.25 m
↓
↑
299.25 m
↓
N 11.482717°
E 22.832337°		 ← 299.25 m →
89 549 m²		 N 11.482717°
E 22.835083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563426971435547 y=0.467884063720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563426971435547 × 217)
    floor (0.563426971435547 × 131072)
    floor (73849.5)     		tx = 73849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467884063720703 × 217)
    floor (0.467884063720703 × 131072)
    floor (61326.5)     		ty = 61326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73849 / 61326 ti = "17/73849/61326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73849/61326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73849 ÷ 217
    73849 ÷ 131072     		x = 0.563423156738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61326 ÷ 217
    61326 ÷ 131072     		y = 0.467880249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563423156738281 × 2 - 1) × π
    0.126846313476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.39849945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467880249023438 × 2 - 1) × π
    0.064239501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.201814347400436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39849945} λ = 0.39849945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.201814347400436))-π/2
    2×atan(1.22362081863699)-π/2
    2×0.885627254991342-π/2
    1.77125450998268-1.57079632675     		φ = 0.20045818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39849945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.832337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20045818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.485408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73849 KachelY 61326 0.39849945 0.20045818 22.832337 11.485408
    Oben rechts KachelX + 1 73850 KachelY 61326 0.39854738 0.20045818 22.835083 11.485408
    Unten links KachelX 73849 KachelY + 1 61327 0.39849945 0.20041121 22.832337 11.482717
    Unten rechts KachelX + 1 73850 KachelY + 1 61327 0.39854738 0.20041121 22.835083 11.482717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20045818-0.20041121) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dl = 299.245870000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20045818-0.20041121) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dr = 299.245870000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39849945-0.39854738) × cos(0.20045818) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.979975448658289 × 6371000     		do = 299.247292352639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39849945-0.39854738) × cos(0.20041121) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.979984800166505 × 6371000     		du = 299.250147948171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20045818)-sin(0.20041121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979975448658289-0.979984800166505)×R²
    abs(0.39854738-0.39849945)×9.35150821534947e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.35150821534947e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.35150821534947e-06×40589641000000     		ar = 89548.9436242695m²