Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73847 / 60809
↖ ↑ ↗
← N 12.873392°
E 22.826843°		 ← 297.75 m → N 12.873392°
E 22.829590°		 →
↑
297.72 m
↓
↑
297.72 m
↓
N 12.870715°
E 22.826843°		 ← 297.75 m →
88 645 m²		 N 12.870715°
E 22.829590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563411712646484 y=0.463939666748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563411712646484 × 217)
    floor (0.563411712646484 × 131072)
    floor (73847.5)     		tx = 73847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463939666748047 × 217)
    floor (0.463939666748047 × 131072)
    floor (60809.5)     		ty = 60809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73847 / 60809 ti = "17/73847/60809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73847/60809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73847 ÷ 217
    73847 ÷ 131072     		x = 0.563407897949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60809 ÷ 217
    60809 ÷ 131072     		y = 0.463935852050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563407897949219 × 2 - 1) × π
    0.126815795898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.39840357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463935852050781 × 2 - 1) × π
    0.0721282958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.226597724504005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39840357} λ = 0.39840357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.226597724504005))-π/2
    2×atan(1.25432518215093)-π/2
    2×0.897739705281005-π/2
    1.79547941056201-1.57079632675     		φ = 0.22468308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39840357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.826843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22468308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.873392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73847 KachelY 60809 0.39840357 0.22468308 22.826843 12.873392
    Oben rechts KachelX + 1 73848 KachelY 60809 0.39845151 0.22468308 22.829590 12.873392
    Unten links KachelX 73847 KachelY + 1 60810 0.39840357 0.22463635 22.826843 12.870715
    Unten rechts KachelX + 1 73848 KachelY + 1 60810 0.39845151 0.22463635 22.829590 12.870715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22468308-0.22463635) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dl = 297.716829999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22468308-0.22463635) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dr = 297.716829999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39840357-0.39845151) × cos(0.22468308) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974864764982722 × 6371000     		do = 297.748792244923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39840357-0.39845151) × cos(0.22463635) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.974875175241714 × 6371000     		du = 297.75197180598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22468308)-sin(0.22463635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974864764982722-0.974875175241714)×R²
    abs(0.39845151-0.39840357)×1.04102589920663e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.04102589920663e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.04102589920663e-05×40589641000000     		ar = 88645.2998840046m²