Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73843 / 60811
↖ ↑ ↗
← N 12.868037°
E 22.815857°		 ← 297.69 m → N 12.868037°
E 22.818603°		 →
↑
297.72 m
↓
↑
297.72 m
↓
N 12.865360°
E 22.815857°		 ← 297.70 m →
88 629 m²		 N 12.865360°
E 22.818603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563381195068359 y=0.463954925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563381195068359 × 217)
    floor (0.563381195068359 × 131072)
    floor (73843.5)     		tx = 73843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463954925537109 × 217)
    floor (0.463954925537109 × 131072)
    floor (60811.5)     		ty = 60811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73843 / 60811 ti = "17/73843/60811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73843/60811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73843 ÷ 217
    73843 ÷ 131072     		x = 0.563377380371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60811 ÷ 217
    60811 ÷ 131072     		y = 0.463951110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563377380371094 × 2 - 1) × π
    0.126754760742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.39821183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463951110839844 × 2 - 1) × π
    0.0720977783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.226501850704765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39821183} λ = 0.39821183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.226501850704765))-π/2
    2×atan(1.2542049309948)-π/2
    2×0.89769297278762-π/2
    1.79538594557524-1.57079632675     		φ = 0.22458962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39821183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.815857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22458962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.868037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73843 KachelY 60811 0.39821183 0.22458962 22.815857 12.868037
    Oben rechts KachelX + 1 73844 KachelY 60811 0.39825976 0.22458962 22.818603 12.868037
    Unten links KachelX 73843 KachelY + 1 60812 0.39821183 0.22454289 22.815857 12.865360
    Unten rechts KachelX + 1 73844 KachelY + 1 60812 0.39825976 0.22454289 22.818603 12.865360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22458962-0.22454289) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dl = 297.716829999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22458962-0.22454289) × R
    4.67299999999948e-05 × 6371000     		dr = 297.716829999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39821183-0.39825976) × cos(0.22458962) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.974885583371878 × 6371000     		do = 297.693040756353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39821183-0.39825976) × cos(0.22454289) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.974895989373191 × 6371000     		du = 297.696218354038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22458962)-sin(0.22454289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974885583371878-0.974895989373191)×R²
    abs(0.39825976-0.39821183)×1.04060013133012e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04060013133012e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04060013133012e-05×40589641000000     		ar = 88628.7014353175m²