Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73841 / 73718
↖ ↑ ↗
← S 21.917567°
E 22.810364°		 ← 283.35 m → S 21.917567°
E 22.813110°		 →
↑
283.32 m
↓
↑
283.32 m
↓
S 21.920115°
E 22.810364°		 ← 283.35 m →
80 278 m²		 S 21.920115°
E 22.813110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563365936279297 y=0.562427520751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563365936279297 × 217)
    floor (0.563365936279297 × 131072)
    floor (73841.5)     		tx = 73841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562427520751953 × 217)
    floor (0.562427520751953 × 131072)
    floor (73718.5)     		ty = 73718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73841 / 73718 ti = "17/73841/73718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73841/73718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73841 ÷ 217
    73841 ÷ 131072     		x = 0.563362121582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73718 ÷ 217
    73718 ÷ 131072     		y = 0.562423706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563362121582031 × 2 - 1) × π
    0.126724243164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.39811595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562423706054688 × 2 - 1) × π
    -0.124847412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.392219712691299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39811595} λ = 0.39811595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.392219712691299))-π/2
    2×atan(0.675555669499389)-π/2
    2×0.594131307811773-π/2
    1.18826261562355-1.57079632675     		φ = -0.38253371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39811595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.810364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38253371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.917567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73841 KachelY 73718 0.39811595 -0.38253371 22.810364 -21.917567
    Oben rechts KachelX + 1 73842 KachelY 73718 0.39816389 -0.38253371 22.813110 -21.917567
    Unten links KachelX 73841 KachelY + 1 73719 0.39811595 -0.38257818 22.810364 -21.920115
    Unten rechts KachelX + 1 73842 KachelY + 1 73719 0.39816389 -0.38257818 22.813110 -21.920115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38253371--0.38257818) × R
    4.44699999999632e-05 × 6371000     		dl = 283.318369999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38253371--0.38257818) × R
    4.44699999999632e-05 × 6371000     		dr = 283.318369999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39811595-0.39816389) × cos(-0.38253371) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.927721850813241 × 6371000     		do = 283.350132798946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39811595-0.39816389) × cos(-0.38257818) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.927705250479271 × 6371000     		du = 283.345062629659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38253371)-sin(-0.38257818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927721850813241-0.927705250479271)×R²
    abs(0.39816389-0.39811595)×1.66003339708842e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.66003339708842e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.66003339708842e-05×40589641000000     		ar = 80277.5795409719m²