Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7384 / 4407
↖ ↑ ↗
← N 63.636503°
W 17.753906°		 ← 1 084.97 m → N 63.636503°
W 17.731933°		 →
↑
1 085.11 m
↓
↑
1 085.11 m
↓
N 63.626745°
W 17.753906°		 ← 1 085.35 m →
1 177 516 m²		 N 63.626745°
W 17.731933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450714111328125 y=0.269012451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450714111328125 × 214)
    floor (0.450714111328125 × 16384)
    floor (7384.5)     		tx = 7384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269012451171875 × 214)
    floor (0.269012451171875 × 16384)
    floor (4407.5)     		ty = 4407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7384 / 4407 ti = "14/7384/4407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7384/4407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7384 ÷ 214
    7384 ÷ 16384     		x = 0.45068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4407 ÷ 214
    4407 ÷ 16384     		y = 0.26898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45068359375 × 2 - 1) × π
    -0.0986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30986412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26898193359375 × 2 - 1) × π
    0.4620361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4515293204953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30986412} λ = -0.30986412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4515293204953))-π/2
    2×atan(4.26963917144429)-π/2
    2×1.34073141949355-π/2
    2.68146283898711-1.57079632675     		φ = 1.11066651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30986412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.753906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11066651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.636503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7384 KachelY 4407 -0.30986412 1.11066651 -17.753906 63.636503
    Oben rechts KachelX + 1 7385 KachelY 4407 -0.30948062 1.11066651 -17.731933 63.636503
    Unten links KachelX 7384 KachelY + 1 4408 -0.30986412 1.11049619 -17.753906 63.626745
    Unten rechts KachelX + 1 7385 KachelY + 1 4408 -0.30948062 1.11049619 -17.731933 63.626745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11066651-1.11049619) × R
    0.000170319999999835 × 6371000     		dl = 1085.10871999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11066651-1.11049619) × R
    0.000170319999999835 × 6371000     		dr = 1085.10871999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30986412--0.30948062) × cos(1.11066651) × R
    0.000383500000000037 × 0.444064425887685 × 6371000     		do = 1084.97306438633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30986412--0.30948062) × cos(1.11049619) × R
    0.000383500000000037 × 0.444217025290261 × 6371000     		du = 1085.34590722575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11066651)-sin(1.11049619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444064425887685-0.444217025290261)×R²
    abs(-0.30948062--0.30986412)×0.000152599402575171×R²
    0.000383500000000037×0.000152599402575171×6371000²
    0.000383500000000037×0.000152599402575171×40589641000000     		ar = 1177516.02348469m²