Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7384 / 3380
↖ ↑ ↗
← N 72.046840°
W 17.753906°		 ← 753.11 m → N 72.046840°
W 17.731933°		 →
↑
753.24 m
↓
↑
753.24 m
↓
N 72.040066°
W 17.753906°		 ← 753.39 m →
567 382 m²		 N 72.040066°
W 17.731933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450714111328125 y=0.206329345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450714111328125 × 214)
    floor (0.450714111328125 × 16384)
    floor (7384.5)     		tx = 7384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206329345703125 × 214)
    floor (0.206329345703125 × 16384)
    floor (3380.5)     		ty = 3380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7384 / 3380 ti = "14/7384/3380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7384/3380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7384 ÷ 214
    7384 ÷ 16384     		x = 0.45068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3380 ÷ 214
    3380 ÷ 16384     		y = 0.206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45068359375 × 2 - 1) × π
    -0.0986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30986412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206298828125 × 2 - 1) × π
    0.58740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84537888777368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30986412} λ = -0.30986412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84537888777368))-π/2
    2×atan(6.33049788431883)-π/2
    2×1.41412544929127-π/2
    2.82825089858254-1.57079632675     		φ = 1.25745457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30986412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.753906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25745457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.046840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7384 KachelY 3380 -0.30986412 1.25745457 -17.753906 72.046840
    Oben rechts KachelX + 1 7385 KachelY 3380 -0.30948062 1.25745457 -17.731933 72.046840
    Unten links KachelX 7384 KachelY + 1 3381 -0.30986412 1.25733634 -17.753906 72.040066
    Unten rechts KachelX + 1 7385 KachelY + 1 3381 -0.30948062 1.25733634 -17.731933 72.040066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25745457-1.25733634) × R
    0.000118229999999997 × 6371000     		dl = 753.243329999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25745457-1.25733634) × R
    0.000118229999999997 × 6371000     		dr = 753.243329999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30986412--0.30948062) × cos(1.25745457) × R
    0.000383500000000037 × 0.3082393943534 × 6371000     		do = 753.114685076756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30986412--0.30948062) × cos(1.25733634) × R
    0.000383500000000037 × 0.308351865440886 × 6371000     		du = 753.389483266682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25745457)-sin(1.25733634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3082393943534-0.308351865440886)×R²
    abs(-0.30948062--0.30986412)×0.000112471087485855×R²
    0.000383500000000037×0.000112471087485855×6371000²
    0.000383500000000037×0.000112471087485855×40589641000000     		ar = 567382.108871389m²