Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73838 / 61433
↖ ↑ ↗
← N 11.197263°
E 22.802124°		 ← 299.61 m → N 11.197263°
E 22.804871°		 →
↑
299.63 m
↓
↑
299.63 m
↓
N 11.194568°
E 22.802124°		 ← 299.61 m →
89 773 m²		 N 11.194568°
E 22.804871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563343048095703 y=0.468700408935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563343048095703 × 217)
    floor (0.563343048095703 × 131072)
    floor (73838.5)     		tx = 73838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468700408935547 × 217)
    floor (0.468700408935547 × 131072)
    floor (61433.5)     		ty = 61433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73838 / 61433 ti = "17/73838/61433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73838/61433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73838 ÷ 217
    73838 ÷ 131072     		x = 0.563339233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61433 ÷ 217
    61433 ÷ 131072     		y = 0.468696594238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563339233398438 × 2 - 1) × π
    0.126678466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39797214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468696594238281 × 2 - 1) × π
    0.0626068115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.19668509914109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39797214} λ = 0.39797214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.19668509914109))-π/2
    2×atan(1.21736063243252)-π/2
    2×0.883112713035457-π/2
    1.76622542607091-1.57079632675     		φ = 0.19542910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39797214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.802124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19542910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.197263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73838 KachelY 61433 0.39797214 0.19542910 22.802124 11.197263
    Oben rechts KachelX + 1 73839 KachelY 61433 0.39802008 0.19542910 22.804871 11.197263
    Unten links KachelX 73838 KachelY + 1 61434 0.39797214 0.19538207 22.802124 11.194568
    Unten rechts KachelX + 1 73839 KachelY + 1 61434 0.39802008 0.19538207 22.804871 11.194568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19542910-0.19538207) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dl = 299.628130000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19542910-0.19538207) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dr = 299.628130000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39797214-0.39802008) × cos(0.19542910) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980964434013389 × 6371000     		do = 299.611788172371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39797214-0.39802008) × cos(0.19538207) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980973565565931 × 6371000     		du = 299.614577183563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19542910)-sin(0.19538207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980964434013389-0.980973565565931)×R²
    abs(0.39802008-0.39797214)×9.13155254167464e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.13155254167464e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.13155254167464e-06×40589641000000     		ar = 89772.5376657179m²