Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73837 / 61432
↖ ↑ ↗
← N 11.199957°
E 22.799377°		 ← 299.61 m → N 11.199957°
E 22.802124°		 →
↑
299.56 m
↓
↑
299.56 m
↓
N 11.197263°
E 22.799377°		 ← 299.61 m →
89 753 m²		 N 11.197263°
E 22.802124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563335418701172 y=0.468692779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563335418701172 × 217)
    floor (0.563335418701172 × 131072)
    floor (73837.5)     		tx = 73837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468692779541016 × 217)
    floor (0.468692779541016 × 131072)
    floor (61432.5)     		ty = 61432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73837 / 61432 ti = "17/73837/61432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73837/61432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73837 ÷ 217
    73837 ÷ 131072     		x = 0.563331604003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61432 ÷ 217
    61432 ÷ 131072     		y = 0.46868896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563331604003906 × 2 - 1) × π
    0.126663208007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.39792420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46868896484375 × 2 - 1) × π
    0.0626220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.19673303604071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39792420} λ = 0.39792420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.19673303604071))-π/2
    2×atan(1.2174189903257)-π/2
    2×0.883136225122819-π/2
    1.76627245024564-1.57079632675     		φ = 0.19547612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39792420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.799377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19547612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.199957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73837 KachelY 61432 0.39792420 0.19547612 22.799377 11.199957
    Oben rechts KachelX + 1 73838 KachelY 61432 0.39797214 0.19547612 22.802124 11.199957
    Unten links KachelX 73837 KachelY + 1 61433 0.39792420 0.19542910 22.799377 11.197263
    Unten rechts KachelX + 1 73838 KachelY + 1 61433 0.39797214 0.19542910 22.802124 11.197263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19547612-0.19542910) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dl = 299.564420000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19547612-0.19542910) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dr = 299.564420000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39792420-0.39797214) × cos(0.19547612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.980955302233466 × 6371000     		do = 299.608999091383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39792420-0.39797214) × cos(0.19542910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.980964434013389 × 6371000     		du = 299.611788172024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19547612)-sin(0.19542910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980955302233466-0.980964434013389)×R²
    abs(0.39797214-0.39792420)×9.13177992312164e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.13177992312164e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.13177992312164e-06×40589641000000     		ar = 89752.6138107919m²