Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73833 / 61306
↖ ↑ ↗
← N 11.539234°
E 22.788391°		 ← 299.19 m → N 11.539234°
E 22.791138°		 →
↑
299.25 m
↓
↑
299.25 m
↓
N 11.536543°
E 22.788391°		 ← 299.19 m →
89 532 m²		 N 11.536543°
E 22.791138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563304901123047 y=0.467731475830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563304901123047 × 217)
    floor (0.563304901123047 × 131072)
    floor (73833.5)     		tx = 73833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467731475830078 × 217)
    floor (0.467731475830078 × 131072)
    floor (61306.5)     		ty = 61306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73833 / 61306 ti = "17/73833/61306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73833/61306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73833 ÷ 217
    73833 ÷ 131072     		x = 0.563301086425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61306 ÷ 217
    61306 ÷ 131072     		y = 0.467727661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563301086425781 × 2 - 1) × π
    0.126602172851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.39773246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467727661132812 × 2 - 1) × π
    0.064544677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.202773085392838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39773246} λ = 0.39773246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202773085392838))-π/2
    2×atan(1.22479451294687)-π/2
    2×0.886096979931837-π/2
    1.77219395986367-1.57079632675     		φ = 0.20139763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39773246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.788391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20139763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.539234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73833 KachelY 61306 0.39773246 0.20139763 22.788391 11.539234
    Oben rechts KachelX + 1 73834 KachelY 61306 0.39778039 0.20139763 22.791138 11.539234
    Unten links KachelX 73833 KachelY + 1 61307 0.39773246 0.20135066 22.788391 11.536543
    Unten rechts KachelX + 1 73834 KachelY + 1 61307 0.39778039 0.20135066 22.791138 11.536543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20139763-0.20135066) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dl = 299.245870000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20139763-0.20135066) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dr = 299.245870000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39773246-0.39778039) × cos(0.20139763) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.979787954498858 × 6371000     		do = 299.190038755156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39773246-0.39778039) × cos(0.20135066) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.97979734924551 × 6371000     		du = 299.192907554065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20139763)-sin(0.20135066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979787954498858-0.97979734924551)×R²
    abs(0.39778039-0.39773246)×9.3947466525135e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.3947466525135e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.3947466525135e-06×40589641000000     		ar = 89531.8126972242m²