Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73831 / 73709
↖ ↑ ↗
← S 21.894633°
E 22.782898°		 ← 283.40 m → S 21.894633°
E 22.785645°		 →
↑
283.38 m
↓
↑
283.38 m
↓
S 21.897181°
E 22.782898°		 ← 283.39 m →
80 309 m²		 S 21.897181°
E 22.785645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563289642333984 y=0.562358856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563289642333984 × 217)
    floor (0.563289642333984 × 131072)
    floor (73831.5)     		tx = 73831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562358856201172 × 217)
    floor (0.562358856201172 × 131072)
    floor (73709.5)     		ty = 73709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73831 / 73709 ti = "17/73831/73709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73831/73709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73831 ÷ 217
    73831 ÷ 131072     		x = 0.563285827636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73709 ÷ 217
    73709 ÷ 131072     		y = 0.562355041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563285827636719 × 2 - 1) × π
    0.126571655273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.39763658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562355041503906 × 2 - 1) × π
    -0.124710083007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.391788280594719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39763658} λ = 0.39763658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.391788280594719))-π/2
    2×atan(0.675847188779103)-π/2
    2×0.594331448412956-π/2
    1.18866289682591-1.57079632675     		φ = -0.38213343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39763658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.782898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38213343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.894633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73831 KachelY 73709 0.39763658 -0.38213343 22.782898 -21.894633
    Oben rechts KachelX + 1 73832 KachelY 73709 0.39768452 -0.38213343 22.785645 -21.894633
    Unten links KachelX 73831 KachelY + 1 73710 0.39763658 -0.38217791 22.782898 -21.897181
    Unten rechts KachelX + 1 73832 KachelY + 1 73710 0.39768452 -0.38217791 22.785645 -21.897181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38213343--0.38217791) × R
    4.44800000000134e-05 × 6371000     		dl = 283.382080000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38213343--0.38217791) × R
    4.44800000000134e-05 × 6371000     		dr = 283.382080000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39763658-0.39768452) × cos(-0.38213343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927871189901061 × 6371000     		do = 283.395744800026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39763658-0.39768452) × cos(-0.38217791) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927854602352718 × 6371000     		du = 283.390678535799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38213343)-sin(-0.38217791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927871189901061-0.927854602352718)×R²
    abs(0.39768452-0.39763658)×1.65875483426614e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65875483426614e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65875483426614e-05×40589641000000     		ar = 80308.5577935461m²