Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73830 / 73719
↖ ↑ ↗
← S 21.920115°
E 22.780152°		 ← 283.29 m → S 21.920115°
E 22.782898°		 →
↑
283.32 m
↓
↑
283.32 m
↓
S 21.922663°
E 22.780152°		 ← 283.28 m →
80 259 m²		 S 21.922663°
E 22.782898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563282012939453 y=0.562435150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563282012939453 × 217)
    floor (0.563282012939453 × 131072)
    floor (73830.5)     		tx = 73830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562435150146484 × 217)
    floor (0.562435150146484 × 131072)
    floor (73719.5)     		ty = 73719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73830 / 73719 ti = "17/73830/73719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73830/73719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73830 ÷ 217
    73830 ÷ 131072     		x = 0.563278198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73719 ÷ 217
    73719 ÷ 131072     		y = 0.562431335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563278198242188 × 2 - 1) × π
    0.126556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39758865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562431335449219 × 2 - 1) × π
    -0.124862670898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.392267649590919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39758865} λ = 0.39758865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.392267649590919))-π/2
    2×atan(0.675523286231255)-π/2
    2×0.594109071956111-π/2
    1.18821814391222-1.57079632675     		φ = -0.38257818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39758865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.780152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38257818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.920115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73830 KachelY 73719 0.39758865 -0.38257818 22.780152 -21.920115
    Oben rechts KachelX + 1 73831 KachelY 73719 0.39763658 -0.38257818 22.782898 -21.920115
    Unten links KachelX 73830 KachelY + 1 73720 0.39758865 -0.38262265 22.780152 -21.922663
    Unten rechts KachelX + 1 73831 KachelY + 1 73720 0.39763658 -0.38262265 22.782898 -21.922663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38257818--0.38262265) × R
    4.44700000000187e-05 × 6371000     		dl = 283.318370000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38257818--0.38262265) × R
    4.44700000000187e-05 × 6371000     		dr = 283.318370000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39758865-0.39763658) × cos(-0.38257818) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927705250479271 × 6371000     		do = 283.285958528182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39758865-0.39763658) × cos(-0.38262265) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927688648310687 × 6371000     		du = 283.280888856281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38257818)-sin(-0.38262265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927705250479271-0.927688648310687)×R²
    abs(0.39763658-0.39758865)×1.66021685832352e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66021685832352e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66021685832352e-05×40589641000000     		ar = 80259.3978617916m²