Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7383 / 7476
↖ ↑ ↗
← N 69.457554°
W 98.887939°		 ← 428.65 m → N 69.457554°
W 98.876953°		 →
↑
428.70 m
↓
↑
428.70 m
↓
N 69.453698°
W 98.887939°		 ← 428.73 m →
183 782 m²		 N 69.453698°
W 98.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225326538085938 y=0.228164672851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225326538085938 × 215)
    floor (0.225326538085938 × 32768)
    floor (7383.5)     		tx = 7383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228164672851562 × 215)
    floor (0.228164672851562 × 32768)
    floor (7476.5)     		ty = 7476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7383 / 7476 ti = "15/7383/7476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7383/7476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7383 ÷ 215
    7383 ÷ 32768     		x = 0.225311279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7476 ÷ 215
    7476 ÷ 32768     		y = 0.2281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225311279296875 × 2 - 1) × π
    -0.54937744140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.72592013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2281494140625 × 2 - 1) × π
    0.543701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70808760726184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72592013} λ = -1.72592013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70808760726184))-π/2
    2×atan(5.51839803578879)-π/2
    2×1.39152966387043-π/2
    2.78305932774087-1.57079632675     		φ = 1.21226300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72592013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.887939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21226300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.457554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7383 KachelY 7476 -1.72592013 1.21226300 -98.887939 69.457554
    Oben rechts KachelX + 1 7384 KachelY 7476 -1.72572839 1.21226300 -98.876953 69.457554
    Unten links KachelX 7383 KachelY + 1 7477 -1.72592013 1.21219571 -98.887939 69.453698
    Unten rechts KachelX + 1 7384 KachelY + 1 7477 -1.72572839 1.21219571 -98.876953 69.453698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21226300-1.21219571) × R
    6.72900000000531e-05 × 6371000     		dl = 428.704590000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21226300-1.21219571) × R
    6.72900000000531e-05 × 6371000     		dr = 428.704590000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72592013--1.72572839) × cos(1.21226300) × R
    0.000191739999999996 × 0.350901200079368 × 6371000     		do = 428.652322973592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72592013--1.72572839) × cos(1.21219571) × R
    0.000191739999999996 × 0.350964210481211 × 6371000     		du = 428.729294939249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21226300)-sin(1.21219571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350901200079368-0.350964210481211)×R²
    abs(-1.72572839--1.72592013)×6.30104018430888e-05×R²
    0.000191739999999996×6.30104018430888e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.30104018430888e-05×40589641000000     		ar = 183781.717559926m²