Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73829 / 73715
↖ ↑ ↗
← S 21.909923°
E 22.777405°		 ← 283.37 m → S 21.909923°
E 22.780152°		 →
↑
283.38 m
↓
↑
283.38 m
↓
S 21.912471°
E 22.777405°		 ← 283.36 m →
80 300 m²		 S 21.912471°
E 22.780152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563274383544922 y=0.562404632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563274383544922 × 217)
    floor (0.563274383544922 × 131072)
    floor (73829.5)     		tx = 73829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562404632568359 × 217)
    floor (0.562404632568359 × 131072)
    floor (73715.5)     		ty = 73715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73829 / 73715 ti = "17/73829/73715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73829/73715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73829 ÷ 217
    73829 ÷ 131072     		x = 0.563270568847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73715 ÷ 217
    73715 ÷ 131072     		y = 0.562400817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563270568847656 × 2 - 1) × π
    0.126541137695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.39754071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562400817871094 × 2 - 1) × π
    -0.124801635742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.392075901992439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39754071} λ = 0.39754071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.392075901992439))-π/2
    2×atan(0.675652828618431)-π/2
    2×0.594198017765897-π/2
    1.18839603553179-1.57079632675     		φ = -0.38240029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39754071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.777405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38240029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.909923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73829 KachelY 73715 0.39754071 -0.38240029 22.777405 -21.909923
    Oben rechts KachelX + 1 73830 KachelY 73715 0.39758865 -0.38240029 22.780152 -21.909923
    Unten links KachelX 73829 KachelY + 1 73716 0.39754071 -0.38244477 22.777405 -21.912471
    Unten rechts KachelX + 1 73830 KachelY + 1 73716 0.39758865 -0.38244477 22.780152 -21.912471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38240029--0.38244477) × R
    4.44800000000134e-05 × 6371000     		dl = 283.382080000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38240029--0.38244477) × R
    4.44800000000134e-05 × 6371000     		dr = 283.382080000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39754071-0.39758865) × cos(-0.38240029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927771644538638 × 6371000     		do = 283.365341084045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39754071-0.39758865) × cos(-0.38244477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927755045977215 × 6371000     		du = 283.360271456139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38240029)-sin(-0.38244477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927771644538638-0.927755045977215)×R²
    abs(0.39758865-0.39754071)×1.65985614221098e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65985614221098e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65985614221098e-05×40589641000000     		ar = 80299.941448739m²