Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73827 / 73716
S 21.912471°
E 22.771911°
← 283.36 m → S 21.912471°
E 22.774658°

283.32 m

283.32 m
S 21.915019°
E 22.771911°
← 283.36 m →
80 280 m²
S 21.915019°
E 22.774658°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563259124755859 y=0.562412261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563259124755859 × 217)
    floor (0.563259124755859 × 131072)
    floor (73827.5)
    tx = 73827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562412261962891 × 217)
    floor (0.562412261962891 × 131072)
    floor (73716.5)
    ty = 73716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73827 / 73716 ti = "17/73827/73716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73827/73716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73827 ÷ 217
    73827 ÷ 131072
    x = 0.563255310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73716 ÷ 217
    73716 ÷ 131072
    y = 0.562408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.563255310058594 × 2 - 1) × π
    0.126510620117188 × 3.1415926535
    Λ = 0.39744483
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.562408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.12481689453125 × 3.1415926535
    Φ = -0.392123838892059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39744483} λ = 0.39744483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.392123838892059))-π/2
    2×atan(0.675620440692903)-π/2
    2×0.594175780716703-π/2
    1.18835156143341-1.57079632675
    φ = -0.38244477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39744483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.771911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38244477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.912471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73827 KachelY 73716 0.39744483 -0.38244477 22.771911 -21.912471
    Oben rechts KachelX + 1 73828 KachelY 73716 0.39749277 -0.38244477 22.774658 -21.912471
    Unten links KachelX 73827 KachelY + 1 73717 0.39744483 -0.38248924 22.771911 -21.915019
    Unten rechts KachelX + 1 73828 KachelY + 1 73717 0.39749277 -0.38248924 22.774658 -21.915019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.38244477--0.38248924) × R
    4.44700000000187e-05 × 6371000
    dl = 283.318370000119m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.38244477--0.38248924) × R
    4.44700000000187e-05 × 6371000
    dr = 283.318370000119m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.39744483-0.39749277) × cos(-0.38244477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927755045977215 × 6371000
    do = 283.360271456139m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.39744483-0.39749277) × cos(-0.38248924) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927738449312567 × 6371000
    du = 283.355202407558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.38244477)-sin(-0.38248924))×
    abs(λ12)×abs(0.927755045977215-0.927738449312567)×
    abs(0.39749277-0.39744483)×1.65966646480387e-05×
    4.79399999999686e-05×1.65966646480387e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65966646480387e-05×40589641000000
    ar = 80280.4521677088m²