Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73826 / 61310
↖ ↑ ↗
← N 11.528470°
E 22.769165°		 ← 299.20 m → N 11.528470°
E 22.771911°		 →
↑
299.25 m
↓
↑
299.25 m
↓
N 11.525779°
E 22.769165°		 ← 299.20 m →
89 535 m²		 N 11.525779°
E 22.771911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563251495361328 y=0.467761993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563251495361328 × 217)
    floor (0.563251495361328 × 131072)
    floor (73826.5)     		tx = 73826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467761993408203 × 217)
    floor (0.467761993408203 × 131072)
    floor (61310.5)     		ty = 61310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73826 / 61310 ti = "17/73826/61310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73826/61310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73826 ÷ 217
    73826 ÷ 131072     		x = 0.563247680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61310 ÷ 217
    61310 ÷ 131072     		y = 0.467758178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563247680664062 × 2 - 1) × π
    0.126495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39739690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467758178710938 × 2 - 1) × π
    0.064483642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.202581337794357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39739690} λ = 0.39739690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202581337794357))-π/2
    2×atan(1.22455968405504)-π/2
    2×0.886003042137228-π/2
    1.77200608427446-1.57079632675     		φ = 0.20120976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39739690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.769165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20120976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.528470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73826 KachelY 61310 0.39739690 0.20120976 22.769165 11.528470
    Oben rechts KachelX + 1 73827 KachelY 61310 0.39744483 0.20120976 22.771911 11.528470
    Unten links KachelX 73826 KachelY + 1 61311 0.39739690 0.20116279 22.769165 11.525779
    Unten rechts KachelX + 1 73827 KachelY + 1 61311 0.39744483 0.20116279 22.771911 11.525779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20120976-0.20116279) × R
    4.69699999999795e-05 × 6371000     		dl = 299.24586999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20120976-0.20116279) × R
    4.69699999999795e-05 × 6371000     		dr = 299.24586999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39739690-0.39744483) × cos(0.20120976) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.979825518517175 × 6371000     		do = 299.20150938039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39739690-0.39744483) × cos(0.20116279) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.979834904617723 × 6371000     		du = 299.204375539107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20120976)-sin(0.20116279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979825518517175-0.979834904617723)×R²
    abs(0.39744483-0.39739690)×9.38610054757039e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.38610054757039e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.38610054757039e-06×40589641000000     		ar = 89535.2448393642m²