Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73821 / 73711
↖ ↑ ↗
← S 21.899730°
E 22.755432°		 ← 283.39 m → S 21.899730°
E 22.758179°		 →
↑
283.32 m
↓
↑
283.32 m
↓
S 21.902278°
E 22.755432°		 ← 283.38 m →
80 288 m²		 S 21.902278°
E 22.758179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563213348388672 y=0.562374114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563213348388672 × 217)
    floor (0.563213348388672 × 131072)
    floor (73821.5)     		tx = 73821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562374114990234 × 217)
    floor (0.562374114990234 × 131072)
    floor (73711.5)     		ty = 73711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73821 / 73711 ti = "17/73821/73711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73821/73711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73821 ÷ 217
    73821 ÷ 131072     		x = 0.563209533691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73711 ÷ 217
    73711 ÷ 131072     		y = 0.562370300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563209533691406 × 2 - 1) × π
    0.126419067382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.39715721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562370300292969 × 2 - 1) × π
    -0.124740600585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.391884154393959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39715721} λ = 0.39715721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.391884154393959))-π/2
    2×atan(0.675782395847431)-π/2
    2×0.594286969940012-π/2
    1.18857393988002-1.57079632675     		φ = -0.38222239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39715721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.755432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38222239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.899730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73821 KachelY 73711 0.39715721 -0.38222239 22.755432 -21.899730
    Oben rechts KachelX + 1 73822 KachelY 73711 0.39720515 -0.38222239 22.758179 -21.899730
    Unten links KachelX 73821 KachelY + 1 73712 0.39715721 -0.38226686 22.755432 -21.902278
    Unten rechts KachelX + 1 73822 KachelY + 1 73712 0.39720515 -0.38226686 22.758179 -21.902278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38222239--0.38226686) × R
    4.44699999999632e-05 × 6371000     		dl = 283.318369999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38222239--0.38226686) × R
    4.44699999999632e-05 × 6371000     		dr = 283.318369999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39715721-0.39720515) × cos(-0.38222239) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.927838012968642 × 6371000     		do = 283.38561171122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39715721-0.39720515) × cos(-0.38226686) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.927821425479114 × 6371000     		du = 283.380545464955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38222239)-sin(-0.38226686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927838012968642-0.927821425479114)×R²
    abs(0.39720515-0.39715721)×1.65874895288187e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65874895288187e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65874895288187e-05×40589641000000     		ar = 80287.6319243439m²