Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7382 / 3384
↖ ↑ ↗
← N 72.019729°
W 17.797852°		 ← 754.21 m → N 72.019729°
W 17.775879°		 →
↑
754.33 m
↓
↑
754.33 m
↓
N 72.012945°
W 17.797852°		 ← 754.49 m →
569 028 m²		 N 72.012945°
W 17.775879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450592041015625 y=0.206573486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450592041015625 × 214)
    floor (0.450592041015625 × 16384)
    floor (7382.5)     		tx = 7382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206573486328125 × 214)
    floor (0.206573486328125 × 16384)
    floor (3384.5)     		ty = 3384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7382 / 3384 ti = "14/7382/3384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7382/3384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7382 ÷ 214
    7382 ÷ 16384     		x = 0.4505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3384 ÷ 214
    3384 ÷ 16384     		y = 0.20654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.098876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31063111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20654296875 × 2 - 1) × π
    0.5869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84384490698584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31063111} λ = -0.31063111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84384490698584))-π/2
    2×atan(6.32079446651781)-π/2
    2×1.4138888600628-π/2
    2.8277777201256-1.57079632675     		φ = 1.25698139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31063111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.797852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25698139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.019729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7382 KachelY 3384 -0.31063111 1.25698139 -17.797852 72.019729
    Oben rechts KachelX + 1 7383 KachelY 3384 -0.31024761 1.25698139 -17.775879 72.019729
    Unten links KachelX 7382 KachelY + 1 3385 -0.31063111 1.25686299 -17.797852 72.012945
    Unten rechts KachelX + 1 7383 KachelY + 1 3385 -0.31024761 1.25686299 -17.775879 72.012945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25698139-1.25686299) × R
    0.000118400000000074 × 6371000     		dl = 754.326400000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25698139-1.25686299) × R
    0.000118400000000074 × 6371000     		dr = 754.326400000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31063111--0.31024761) × cos(1.25698139) × R
    0.000383499999999981 × 0.30868950013794 × 6371000     		do = 754.214418862739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31063111--0.31024761) × cos(1.25686299) × R
    0.000383499999999981 × 0.308802115657 × 6371000     		du = 754.489569939223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25698139)-sin(1.25686299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30868950013794-0.308802115657)×R²
    abs(-0.31024761--0.31063111)×0.0001126155190595×R²
    0.000383499999999981×0.0001126155190595×6371000²
    0.000383499999999981×0.0001126155190595×40589641000000     		ar = 569027.624933728m²