Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73808 / 61296
↖ ↑ ↗
← N 11.566144°
E 22.719726°		 ← 299.22 m → N 11.566144°
E 22.722473°		 →
↑
299.18 m
↓
↑
299.18 m
↓
N 11.563453°
E 22.719726°		 ← 299.23 m →
89 523 m²		 N 11.563453°
E 22.722473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563114166259766 y=0.467655181884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563114166259766 × 217)
    floor (0.563114166259766 × 131072)
    floor (73808.5)     		tx = 73808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467655181884766 × 217)
    floor (0.467655181884766 × 131072)
    floor (61296.5)     		ty = 61296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73808 / 61296 ti = "17/73808/61296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73808/61296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73808 ÷ 217
    73808 ÷ 131072     		x = 0.5631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61296 ÷ 217
    61296 ÷ 131072     		y = 0.4676513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5631103515625 × 2 - 1) × π
    0.126220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39653403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4676513671875 × 2 - 1) × π
    0.064697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.203252454389038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39653403} λ = 0.39653403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.203252454389038))-π/2
    2×atan(1.22538178221119)-π/2
    2×0.886331808647845-π/2
    1.77266361729569-1.57079632675     		φ = 0.20186729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39653403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.719726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20186729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.566144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73808 KachelY 61296 0.39653403 0.20186729 22.719726 11.566144
    Oben rechts KachelX + 1 73809 KachelY 61296 0.39658197 0.20186729 22.722473 11.566144
    Unten links KachelX 73808 KachelY + 1 61297 0.39653403 0.20182033 22.719726 11.563453
    Unten rechts KachelX + 1 73809 KachelY + 1 61297 0.39658197 0.20182033 22.722473 11.563453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20186729-0.20182033) × R
    4.69600000000125e-05 × 6371000     		dl = 299.18216000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20186729-0.20182033) × R
    4.69600000000125e-05 × 6371000     		dr = 299.18216000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39653403-0.39658197) × cos(0.20186729) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979693896168297 × 6371000     		do = 299.223733210836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39653403-0.39658197) × cos(0.20182033) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.97970331052354 × 6371000     		du = 299.226608597252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20186729)-sin(0.20182033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979693896168297-0.97970331052354)×R²
    abs(0.39658197-0.39653403)×9.41435524259848e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.41435524259848e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.41435524259848e-06×40589641000000     		ar = 89522.8329739297m²