Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73805 / 73669
↖ ↑ ↗
← S 21.792657°
E 22.711487°		 ← 283.60 m → S 21.792657°
E 22.714233°		 →
↑
283.57 m
↓
↑
283.57 m
↓
S 21.795207°
E 22.711487°		 ← 283.59 m →
80 420 m²		 S 21.795207°
E 22.714233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563091278076172 y=0.562053680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563091278076172 × 217)
    floor (0.563091278076172 × 131072)
    floor (73805.5)     		tx = 73805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562053680419922 × 217)
    floor (0.562053680419922 × 131072)
    floor (73669.5)     		ty = 73669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73805 / 73669 ti = "17/73805/73669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73805/73669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73805 ÷ 217
    73805 ÷ 131072     		x = 0.563087463378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73669 ÷ 217
    73669 ÷ 131072     		y = 0.562049865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563087463378906 × 2 - 1) × π
    0.126174926757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.39639022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562049865722656 × 2 - 1) × π
    -0.124099731445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.389870804609917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39639022} λ = 0.39639022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389870804609917))-π/2
    2×atan(0.677144352775948)-π/2
    2×0.595221351420276-π/2
    1.19044270284055-1.57079632675     		φ = -0.38035362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39639022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.711487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38035362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.792657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73805 KachelY 73669 0.39639022 -0.38035362 22.711487 -21.792657
    Oben rechts KachelX + 1 73806 KachelY 73669 0.39643816 -0.38035362 22.714233 -21.792657
    Unten links KachelX 73805 KachelY + 1 73670 0.39639022 -0.38039813 22.711487 -21.795207
    Unten rechts KachelX + 1 73806 KachelY + 1 73670 0.39643816 -0.38039813 22.714233 -21.795207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38035362--0.38039813) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dl = 283.573209999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38035362--0.38039813) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dr = 283.573209999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39639022-0.39643816) × cos(-0.38035362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928533412619439 × 6371000     		do = 283.598004663831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39639022-0.39643816) × cos(-0.38039813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928516887413772 × 6371000     		du = 283.592957440662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38035362)-sin(-0.38039813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928533412619439-0.928516887413772)×R²
    abs(0.39643816-0.39639022)×1.6525205667195e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6525205667195e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6525205667195e-05×40589641000000     		ar = 80420.0809167711m²