Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73804 / 73756
↖ ↑ ↗
← S 22.014361°
E 22.708740°		 ← 283.10 m → S 22.014361°
E 22.711487°		 →
↑
283.13 m
↓
↑
283.13 m
↓
S 22.016907°
E 22.708740°		 ← 283.09 m →
80 152 m²		 S 22.016907°
E 22.711487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563083648681641 y=0.562717437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563083648681641 × 217)
    floor (0.563083648681641 × 131072)
    floor (73804.5)     		tx = 73804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562717437744141 × 217)
    floor (0.562717437744141 × 131072)
    floor (73756.5)     		ty = 73756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73804 / 73756 ti = "17/73804/73756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73804/73756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73804 ÷ 217
    73804 ÷ 131072     		x = 0.563079833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73756 ÷ 217
    73756 ÷ 131072     		y = 0.562713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563079833984375 × 2 - 1) × π
    0.12615966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39634229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.12542724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.394041314876862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39634229} λ = 0.39634229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.394041314876862))-π/2
    2×atan(0.674326195961175)-π/2
    2×0.593286625343599-π/2
    1.1865732506872-1.57079632675     		φ = -0.38422308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39634229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.708740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38422308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.014361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73804 KachelY 73756 0.39634229 -0.38422308 22.708740 -22.014361
    Oben rechts KachelX + 1 73805 KachelY 73756 0.39639022 -0.38422308 22.711487 -22.014361
    Unten links KachelX 73804 KachelY + 1 73757 0.39634229 -0.38426752 22.708740 -22.016907
    Unten rechts KachelX + 1 73805 KachelY + 1 73757 0.39639022 -0.38426752 22.711487 -22.016907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38422308--0.38426752) × R
    4.44399999999789e-05 × 6371000     		dl = 283.127239999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38422308--0.38426752) × R
    4.44399999999789e-05 × 6371000     		dr = 283.127239999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39634229-0.39639022) × cos(-0.38422308) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927089932338429 × 6371000     		do = 283.098063731599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39634229-0.39639022) × cos(-0.38426752) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927073273578913 × 6371000     		du = 283.092976778976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38422308)-sin(-0.38426752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927089932338429-0.927073273578913)×R²
    abs(0.39639022-0.39634229)×1.66587595152867e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66587595152867e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66587595152867e-05×40589641000000     		ar = 80152.0533194443m²