Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73801 / 73675
↖ ↑ ↗
← S 21.807959°
E 22.700501°		 ← 283.51 m → S 21.807959°
E 22.703247°		 →
↑
283.51 m
↓
↑
283.51 m
↓
S 21.810508°
E 22.700501°		 ← 283.50 m →
80 377 m²		 S 21.810508°
E 22.703247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563060760498047 y=0.562099456787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563060760498047 × 217)
    floor (0.563060760498047 × 131072)
    floor (73801.5)     		tx = 73801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562099456787109 × 217)
    floor (0.562099456787109 × 131072)
    floor (73675.5)     		ty = 73675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73801 / 73675 ti = "17/73801/73675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73801/73675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73801 ÷ 217
    73801 ÷ 131072     		x = 0.563056945800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73675 ÷ 217
    73675 ÷ 131072     		y = 0.562095642089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563056945800781 × 2 - 1) × π
    0.126113891601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.39619848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562095642089844 × 2 - 1) × π
    -0.124191284179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.390158426007637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39619848} λ = 0.39619848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.390158426007637))-π/2
    2×atan(0.676949619576804)-π/2
    2×0.595087825512106-π/2
    1.19017565102421-1.57079632675     		φ = -0.38062068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39619848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.700501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38062068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.807959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73801 KachelY 73675 0.39619848 -0.38062068 22.700501 -21.807959
    Oben rechts KachelX + 1 73802 KachelY 73675 0.39624641 -0.38062068 22.703247 -21.807959
    Unten links KachelX 73801 KachelY + 1 73676 0.39619848 -0.38066518 22.700501 -21.810508
    Unten rechts KachelX + 1 73802 KachelY + 1 73676 0.39624641 -0.38066518 22.703247 -21.810508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38062068--0.38066518) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dl = 283.509500000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38062068--0.38066518) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dr = 283.509500000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39619848-0.39624641) × cos(-0.38062068) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.92843423379326 × 6371000     		do = 283.50856235245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39619848-0.39624641) × cos(-0.38066518) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.928417701266333 × 6371000     		du = 283.503513946466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38062068)-sin(-0.38066518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92843423379326-0.928417701266333)×R²
    abs(0.39624641-0.39619848)×1.65325269270156e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.65325269270156e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.65325269270156e-05×40589641000000     		ar = 80376.6551360523m²