Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7380 / 5751
↖ ↑ ↗
← N 47.174779°
W 17.841797°		 ← 1 660.85 m → N 47.174779°
W 17.819824°		 →
↑
1 661.11 m
↓
↑
1 661.11 m
↓
N 47.159840°
W 17.841797°		 ← 1 661.32 m →
2 759 249 m²		 N 47.159840°
W 17.819824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450469970703125 y=0.351043701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450469970703125 × 214)
    floor (0.450469970703125 × 16384)
    floor (7380.5)     		tx = 7380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351043701171875 × 214)
    floor (0.351043701171875 × 16384)
    floor (5751.5)     		ty = 5751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7380 / 5751 ti = "14/7380/5751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7380/5751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7380 ÷ 214
    7380 ÷ 16384     		x = 0.450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5751 ÷ 214
    5751 ÷ 16384     		y = 0.35101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450439453125 × 2 - 1) × π
    -0.09912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31139810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35101318359375 × 2 - 1) × π
    0.2979736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.936111775780457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31139810} λ = -0.31139810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936111775780457))-π/2
    2×atan(2.55004696278826)-π/2
    2×1.19707576634799-π/2
    2.39415153269598-1.57079632675     		φ = 0.82335521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31139810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.841797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82335521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.174779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7380 KachelY 5751 -0.31139810 0.82335521 -17.841797 47.174779
    Oben rechts KachelX + 1 7381 KachelY 5751 -0.31101460 0.82335521 -17.819824 47.174779
    Unten links KachelX 7380 KachelY + 1 5752 -0.31139810 0.82309448 -17.841797 47.159840
    Unten rechts KachelX + 1 7381 KachelY + 1 5752 -0.31101460 0.82309448 -17.819824 47.159840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82335521-0.82309448) × R
    0.000260730000000042 × 6371000     		dl = 1661.11083000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82335521-0.82309448) × R
    0.000260730000000042 × 6371000     		dr = 1661.11083000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31139810--0.31101460) × cos(0.82335521) × R
    0.000383500000000037 × 0.679764224064391 × 6371000     		do = 1660.85331372587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31139810--0.31101460) × cos(0.82309448) × R
    0.000383500000000037 × 0.679955428344822 × 6371000     		du = 1661.32047903335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82335521)-sin(0.82309448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679764224064391-0.679955428344822)×R²
    abs(-0.31101460--0.31139810)×0.000191204280431734×R²
    0.000383500000000037×0.000191204280431734×6371000²
    0.000383500000000037×0.000191204280431734×40589641000000     		ar = 2759249.44877812m²