Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7380 / 5749
↖ ↑ ↗
← N 47.204642°
W 17.841797°		 ← 1 659.92 m → N 47.204642°
W 17.819824°		 →
↑
1 660.09 m
↓
↑
1 660.09 m
↓
N 47.189713°
W 17.841797°		 ← 1 660.39 m →
2 756 005 m²		 N 47.189713°
W 17.819824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450469970703125 y=0.350921630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450469970703125 × 214)
    floor (0.450469970703125 × 16384)
    floor (7380.5)     		tx = 7380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350921630859375 × 214)
    floor (0.350921630859375 × 16384)
    floor (5749.5)     		ty = 5749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7380 / 5749 ti = "14/7380/5749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7380/5749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7380 ÷ 214
    7380 ÷ 16384     		x = 0.450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5749 ÷ 214
    5749 ÷ 16384     		y = 0.35089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450439453125 × 2 - 1) × π
    -0.09912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31139810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35089111328125 × 2 - 1) × π
    0.2982177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.936878766174377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31139810} λ = -0.31139810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936878766174377))-π/2
    2×atan(2.55200357456806)-π/2
    2×1.19733637934358-π/2
    2.39467275868717-1.57079632675     		φ = 0.82387643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31139810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.841797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82387643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.204642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7380 KachelY 5749 -0.31139810 0.82387643 -17.841797 47.204642
    Oben rechts KachelX + 1 7381 KachelY 5749 -0.31101460 0.82387643 -17.819824 47.204642
    Unten links KachelX 7380 KachelY + 1 5750 -0.31139810 0.82361586 -17.841797 47.189713
    Unten rechts KachelX + 1 7381 KachelY + 1 5750 -0.31101460 0.82361586 -17.819824 47.189713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82387643-0.82361586) × R
    0.000260570000000016 × 6371000     		dl = 1660.0914700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82387643-0.82361586) × R
    0.000260570000000016 × 6371000     		dr = 1660.0914700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31139810--0.31101460) × cos(0.82387643) × R
    0.000383500000000037 × 0.679381852993541 × 6371000     		do = 1659.91907470944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31139810--0.31101460) × cos(0.82361586) × R
    0.000383500000000037 × 0.679573032262128 × 6371000     		du = 1660.38617890602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82387643)-sin(0.82361586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679381852993541-0.679573032262128)×R²
    abs(-0.31101460--0.31139810)×0.000191179268587027×R²
    0.000383500000000037×0.000191179268587027×6371000²
    0.000383500000000037×0.000191179268587027×40589641000000     		ar = 2756005.23025563m²