Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 738 / 866
↖ ↑ ↗
← N 26.745610°
W 50.273437°		 ← 17.455 km → N 26.745610°
W 50.097656°		 →
↑
17.467 km
↓
↑
17.467 km
↓
N 26.588527°
W 50.273437°		 ← 17.479 km →
305.091 km²		 N 26.588527°
W 50.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360595703125 y=0.423095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360595703125 × 211)
    floor (0.360595703125 × 2048)
    floor (738.5)     		tx = 738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423095703125 × 211)
    floor (0.423095703125 × 2048)
    floor (866.5)     		ty = 866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 738 / 866 ti = "11/738/866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/738/866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 738 ÷ 211
    738 ÷ 2048     		x = 0.3603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 866 ÷ 211
    866 ÷ 2048     		y = 0.4228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3603515625 × 2 - 1) × π
    -0.279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4228515625 × 2 - 1) × π
    0.154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.484737928958008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87743701} λ = -0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484737928958008))-π/2
    2×atan(1.62374941537758)-π/2
    2×1.01879764420374-π/2
    2.03759528840748-1.57079632675     		φ = 0.46679896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46679896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.745610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 738 KachelY 866 -0.87743701 0.46679896 -50.273437 26.745610
    Oben rechts KachelX + 1 739 KachelY 866 -0.87436905 0.46679896 -50.097656 26.745610
    Unten links KachelX 738 KachelY + 1 867 -0.87743701 0.46405734 -50.273437 26.588527
    Unten rechts KachelX + 1 739 KachelY + 1 867 -0.87436905 0.46405734 -50.097656 26.588527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46679896-0.46405734) × R
    0.00274162 × 6371000     		dl = 17466.86102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46679896-0.46405734) × R
    0.00274162 × 6371000     		dr = 17466.86102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87743701--0.87436905) × cos(0.46679896) × R
    0.00306795999999998 × 0.893013425041148 × 6371000     		do = 17454.8164373738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87743701--0.87436905) × cos(0.46405734) × R
    0.00306795999999998 × 0.894243878653715 × 6371000     		du = 17478.8668506597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46679896)-sin(0.46405734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893013425041148-0.894243878653715)×R²
    abs(-0.87436905--0.87743701)×0.00123045361256735×R²
    0.00306795999999998×0.00123045361256735×6371000²
    0.00306795999999998×0.00123045361256735×40589641000000     		ar = 305091086.555339m²