Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73792 / 61248
↖ ↑ ↗
← N 11.695273°
E 22.675781°		 ← 299.08 m → N 11.695273°
E 22.678528°		 →
↑
299.12 m
↓
↑
299.12 m
↓
N 11.692583°
E 22.675781°		 ← 299.09 m →
89 462 m²		 N 11.692583°
E 22.678528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562992095947266 y=0.467288970947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562992095947266 × 217)
    floor (0.562992095947266 × 131072)
    floor (73792.5)     		tx = 73792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467288970947266 × 217)
    floor (0.467288970947266 × 131072)
    floor (61248.5)     		ty = 61248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73792 / 61248 ti = "17/73792/61248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73792/61248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73792 ÷ 217
    73792 ÷ 131072     		x = 0.56298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61248 ÷ 217
    61248 ÷ 131072     		y = 0.46728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46728515625 × 2 - 1) × π
    0.0654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.205553425570801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39576704} λ = 0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.205553425570801))-π/2
    2×atan(1.22820459674071)-π/2
    2×0.887458671449611-π/2
    1.77491734289922-1.57079632675     		φ = 0.20412102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20412102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.695273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73792 KachelY 61248 0.39576704 0.20412102 22.675781 11.695273
    Oben rechts KachelX + 1 73793 KachelY 61248 0.39581498 0.20412102 22.678528 11.695273
    Unten links KachelX 73792 KachelY + 1 61249 0.39576704 0.20407407 22.675781 11.692583
    Unten rechts KachelX + 1 73793 KachelY + 1 61249 0.39581498 0.20407407 22.678528 11.692583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20412102-0.20407407) × R
    4.69499999999901e-05 × 6371000     		dl = 299.118449999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20412102-0.20407407) × R
    4.69499999999901e-05 × 6371000     		dr = 299.118449999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39576704-0.39581498) × cos(0.20412102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979239537744585 × 6371000     		do = 299.084960452702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39576704-0.39581498) × cos(0.20407407) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979249053735784 × 6371000     		du = 299.087866881356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20412102)-sin(0.20407407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979239537744585-0.979249053735784)×R²
    abs(0.39581498-0.39576704)×9.51599119969337e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.51599119969337e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.51599119969337e-06×40589641000000     		ar = 89462.2644885425m²