Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7379 / 5754
↖ ↑ ↗
← N 47.129951°
W 17.863770°		 ← 1 662.25 m → N 47.129951°
W 17.841797°		 →
↑
1 662.51 m
↓
↑
1 662.51 m
↓
N 47.115000°
W 17.863770°		 ← 1 662.72 m →
2 763 908 m²		 N 47.115000°
W 17.841797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450408935546875 y=0.351226806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450408935546875 × 214)
    floor (0.450408935546875 × 16384)
    floor (7379.5)     		tx = 7379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351226806640625 × 214)
    floor (0.351226806640625 × 16384)
    floor (5754.5)     		ty = 5754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7379 / 5754 ti = "14/7379/5754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7379/5754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7379 ÷ 214
    7379 ÷ 16384     		x = 0.45037841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5754 ÷ 214
    5754 ÷ 16384     		y = 0.3511962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45037841796875 × 2 - 1) × π
    -0.0992431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31178160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3511962890625 × 2 - 1) × π
    0.297607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.934961290189575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31178160} λ = -0.31178160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.934961290189575))-π/2
    2×atan(2.54711485749736)-π/2
    2×1.19668457189164-π/2
    2.39336914378328-1.57079632675     		φ = 0.82257282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31178160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.863770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82257282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.129951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7379 KachelY 5754 -0.31178160 0.82257282 -17.863770 47.129951
    Oben rechts KachelX + 1 7380 KachelY 5754 -0.31139810 0.82257282 -17.841797 47.129951
    Unten links KachelX 7379 KachelY + 1 5755 -0.31178160 0.82231187 -17.863770 47.115000
    Unten rechts KachelX + 1 7380 KachelY + 1 5755 -0.31139810 0.82231187 -17.841797 47.115000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82257282-0.82231187) × R
    0.000260950000000038 × 6371000     		dl = 1662.51245000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82257282-0.82231187) × R
    0.000260950000000038 × 6371000     		dr = 1662.51245000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31178160--0.31139810) × cos(0.82257282) × R
    0.000383499999999981 × 0.680337844802052 × 6371000     		do = 1662.25482894111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31178160--0.31139810) × cos(0.82231187) × R
    0.000383499999999981 × 0.680529071536294 × 6371000     		du = 1662.72204910951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82257282)-sin(0.82231187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680337844802052-0.680529071536294)×R²
    abs(-0.31139810--0.31178160)×0.000191226734242211×R²
    0.000383499999999981×0.000191226734242211×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191226734242211×40589641000000     		ar = 2763907.74354527m²