Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73789 / 61246
↖ ↑ ↗
← N 11.700652°
E 22.667541°		 ← 299.08 m → N 11.700652°
E 22.670288°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
N 11.697962°
E 22.667541°		 ← 299.08 m →
89 441 m²		 N 11.697962°
E 22.670288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562969207763672 y=0.467273712158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562969207763672 × 217)
    floor (0.562969207763672 × 131072)
    floor (73789.5)     		tx = 73789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467273712158203 × 217)
    floor (0.467273712158203 × 131072)
    floor (61246.5)     		ty = 61246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73789 / 61246 ti = "17/73789/61246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73789/61246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73789 ÷ 217
    73789 ÷ 131072     		x = 0.562965393066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61246 ÷ 217
    61246 ÷ 131072     		y = 0.467269897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562965393066406 × 2 - 1) × π
    0.125930786132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.39562323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467269897460938 × 2 - 1) × π
    0.065460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.205649299370041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39562323} λ = 0.39562323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.205649299370041))-π/2
    2×atan(1.22832235502652)-π/2
    2×0.88750561270087-π/2
    1.77501122540174-1.57079632675     		φ = 0.20421490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39562323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.667541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20421490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.700652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73789 KachelY 61246 0.39562323 0.20421490 22.667541 11.700652
    Oben rechts KachelX + 1 73790 KachelY 61246 0.39567117 0.20421490 22.670288 11.700652
    Unten links KachelX 73789 KachelY + 1 61247 0.39562323 0.20416796 22.667541 11.697962
    Unten rechts KachelX + 1 73790 KachelY + 1 61247 0.39567117 0.20416796 22.670288 11.697962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20421490-0.20416796) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dl = 299.05473999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20421490-0.20416796) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dr = 299.05473999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39562323-0.39567117) × cos(0.20421490) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979220503342555 × 6371000     		do = 299.079146856722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39562323-0.39567117) × cos(0.20416796) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979230021622369 × 6371000     		du = 299.082053984378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20421490)-sin(0.20416796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979220503342555-0.979230021622369)×R²
    abs(0.39567117-0.39562323)×9.51827981487963e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.51827981487963e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.51827981487963e-06×40589641000000     		ar = 89441.4712141989m²