Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73786 / 61245
↖ ↑ ↗
← N 11.703341°
E 22.659302°		 ← 299.08 m → N 11.703341°
E 22.662048°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
N 11.700652°
E 22.659302°		 ← 299.08 m →
89 441 m²		 N 11.700652°
E 22.662048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562946319580078 y=0.467266082763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562946319580078 × 217)
    floor (0.562946319580078 × 131072)
    floor (73786.5)     		tx = 73786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467266082763672 × 217)
    floor (0.467266082763672 × 131072)
    floor (61245.5)     		ty = 61245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73786 / 61245 ti = "17/73786/61245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73786/61245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73786 ÷ 217
    73786 ÷ 131072     		x = 0.562942504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61245 ÷ 217
    61245 ÷ 131072     		y = 0.467262268066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562942504882812 × 2 - 1) × π
    0.125885009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39547942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467262268066406 × 2 - 1) × π
    0.0654754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.205697236269661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39547942} λ = 0.39547942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.205697236269661))-π/2
    2×atan(1.22838123840329)-π/2
    2×0.887529082984271-π/2
    1.77505816596854-1.57079632675     		φ = 0.20426184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39547942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.659302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20426184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.703341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73786 KachelY 61245 0.39547942 0.20426184 22.659302 11.703341
    Oben rechts KachelX + 1 73787 KachelY 61245 0.39552736 0.20426184 22.662048 11.703341
    Unten links KachelX 73786 KachelY + 1 61246 0.39547942 0.20421490 22.659302 11.700652
    Unten rechts KachelX + 1 73787 KachelY + 1 61246 0.39552736 0.20421490 22.662048 11.700652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20426184-0.20421490) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dl = 299.05473999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20426184-0.20421490) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dr = 299.05473999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39547942-0.39552736) × cos(0.20426184) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979210982905161 × 6371000     		do = 299.07623906974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39547942-0.39552736) × cos(0.20421490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979220503342555 × 6371000     		du = 299.079146856376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20426184)-sin(0.20421490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979210982905161-0.979220503342555)×R²
    abs(0.39552736-0.39547942)×9.52043739366193e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.52043739366193e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.52043739366193e-06×40589641000000     		ar = 89440.601725285m²