Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73785 / 73673
↖ ↑ ↗
← S 21.802858°
E 22.656555°		 ← 283.58 m → S 21.802858°
E 22.659302°		 →
↑
283.57 m
↓
↑
283.57 m
↓
S 21.805408°
E 22.656555°		 ← 283.57 m →
80 414 m²		 S 21.805408°
E 22.659302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562938690185547 y=0.562084197998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562938690185547 × 217)
    floor (0.562938690185547 × 131072)
    floor (73785.5)     		tx = 73785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562084197998047 × 217)
    floor (0.562084197998047 × 131072)
    floor (73673.5)     		ty = 73673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73785 / 73673 ti = "17/73785/73673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73785/73673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73785 ÷ 217
    73785 ÷ 131072     		x = 0.562934875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73673 ÷ 217
    73673 ÷ 131072     		y = 0.562080383300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562934875488281 × 2 - 1) × π
    0.125869750976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.39543148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562080383300781 × 2 - 1) × π
    -0.124160766601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.390062552208397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39543148} λ = 0.39543148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.390062552208397))-π/2
    2×atan(0.677014524420014)-π/2
    2×0.595132332563387-π/2
    1.19026466512677-1.57079632675     		φ = -0.38053166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39543148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.656555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38053166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.802858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73785 KachelY 73673 0.39543148 -0.38053166 22.656555 -21.802858
    Oben rechts KachelX + 1 73786 KachelY 73673 0.39547942 -0.38053166 22.659302 -21.802858
    Unten links KachelX 73785 KachelY + 1 73674 0.39543148 -0.38057617 22.656555 -21.805408
    Unten rechts KachelX + 1 73786 KachelY + 1 73674 0.39547942 -0.38057617 22.659302 -21.805408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38053166--0.38057617) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dl = 283.573209999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38053166--0.38057617) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dr = 283.573209999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39543148-0.39547942) × cos(-0.38053166) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928467300759769 × 6371000     		do = 283.577812400497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39543148-0.39547942) × cos(-0.38057617) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.92845076819621 × 6371000     		du = 283.572762930038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38053166)-sin(-0.38057617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928467300759769-0.92845076819621)×R²
    abs(0.39547942-0.39543148)×1.65325635588243e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65325635588243e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65325635588243e-05×40589641000000     		ar = 80414.3546131183m²