Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73783 / 73651
↖ ↑ ↗
← S 21.746745°
E 22.651062°		 ← 283.69 m → S 21.746745°
E 22.653809°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
S 21.749296°
E 22.651062°		 ← 283.68 m →
80 464 m²		 S 21.749296°
E 22.653809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562923431396484 y=0.561916351318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562923431396484 × 217)
    floor (0.562923431396484 × 131072)
    floor (73783.5)     		tx = 73783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561916351318359 × 217)
    floor (0.561916351318359 × 131072)
    floor (73651.5)     		ty = 73651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73783 / 73651 ti = "17/73783/73651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73783/73651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73783 ÷ 217
    73783 ÷ 131072     		x = 0.562919616699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73651 ÷ 217
    73651 ÷ 131072     		y = 0.561912536621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562919616699219 × 2 - 1) × π
    0.125839233398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.39533561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.561912536621094 × 2 - 1) × π
    -0.123825073242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.389007940416756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39533561} λ = 0.39533561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389007940416756))-π/2
    2×atan(0.677728888542783)-π/2
    2×0.595622014663997-π/2
    1.19124402932799-1.57079632675     		φ = -0.37955230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39533561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.651062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37955230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.746745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73783 KachelY 73651 0.39533561 -0.37955230 22.651062 -21.746745
    Oben rechts KachelX + 1 73784 KachelY 73651 0.39538355 -0.37955230 22.653809 -21.746745
    Unten links KachelX 73783 KachelY + 1 73652 0.39533561 -0.37959682 22.651062 -21.749296
    Unten rechts KachelX + 1 73784 KachelY + 1 73652 0.39538355 -0.37959682 22.653809 -21.749296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37955230--0.37959682) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37955230--0.37959682) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39533561-0.39538355) × cos(-0.37955230) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928830603596538 × 6371000     		do = 283.688774437933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39533561-0.39538355) × cos(-0.37959682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92881410780819 × 6371000     		du = 283.68373619957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37955230)-sin(-0.37959682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928830603596538-0.92881410780819)×R²
    abs(0.39538355-0.39533561)×1.64957883479477e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64957883479477e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64957883479477e-05×40589641000000     		ar = 80463.8957181923m²