Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73782 / 73690
↖ ↑ ↗
← S 21.846203°
E 22.648315°		 ← 283.49 m → S 21.846203°
E 22.651062°		 →
↑
283.45 m
↓
↑
283.45 m
↓
S 21.848753°
E 22.648315°		 ← 283.49 m →
80 354 m²		 S 21.848753°
E 22.651062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562915802001953 y=0.562213897705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562915802001953 × 217)
    floor (0.562915802001953 × 131072)
    floor (73782.5)     		tx = 73782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562213897705078 × 217)
    floor (0.562213897705078 × 131072)
    floor (73690.5)     		ty = 73690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73782 / 73690 ti = "17/73782/73690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73782/73690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73782 ÷ 217
    73782 ÷ 131072     		x = 0.562911987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73690 ÷ 217
    73690 ÷ 131072     		y = 0.562210083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562911987304688 × 2 - 1) × π
    0.125823974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39528767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562210083007812 × 2 - 1) × π
    -0.124420166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.390877479501938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39528767} λ = 0.39528767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.390877479501938))-π/2
    2×atan(0.676463031549757)-π/2
    2×0.594754073175272-π/2
    1.18950814635054-1.57079632675     		φ = -0.38128818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39528767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.648315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38128818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.846203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73782 KachelY 73690 0.39528767 -0.38128818 22.648315 -21.846203
    Oben rechts KachelX + 1 73783 KachelY 73690 0.39533561 -0.38128818 22.651062 -21.846203
    Unten links KachelX 73782 KachelY + 1 73691 0.39528767 -0.38133267 22.648315 -21.848753
    Unten rechts KachelX + 1 73783 KachelY + 1 73691 0.39533561 -0.38133267 22.651062 -21.848753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38128818--0.38133267) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dl = 283.445790000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38128818--0.38133267) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dr = 283.445790000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39528767-0.39533561) × cos(-0.38128818) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928186052861847 × 6371000     		do = 283.491912053151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39528767-0.39533561) × cos(-0.38133267) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.92816949648245 × 6371000     		du = 283.486855308722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38128818)-sin(-0.38133267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928186052861847-0.92816949648245)×R²
    abs(0.39533561-0.39528767)×1.65563793972368e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65563793972368e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65563793972368e-05×40589641000000     		ar = 80353.8723272374m²